Chủ đề này có 3 trả lời

[t_toan]

Thời gian $90$ phút.

Bài 1: Tìm mối liên hệ giữa $a, b, c$ biết rằng tích một nghiệm của phương trình $x^2+ax+1=0$ với một nghiệm của phương trình $x^2+bx+1=0$ là nghiệm của phương trình $x^2+cx+1=0$.

Bài 2: Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Xét các số $x, y, z$ thỏa $x+y+z=\dfrac{\pi}{2}.$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x,y,z)=\dfrac{sinx}{a}+\dfrac{siny}{b}+\dfrac{sinz}{c}$

Bài 3: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn ba tính chất sau:
i) $ f(1)=1$
ii) $ f(x+y)-f(x)-f(y)=2xy$
iii) $ f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^4}, \forall x \neq 0.$

Bài 4: Giả sử một đội tuyển dự thi Olympic có $6$ thành viên. Chứng minh rằng trong số $6$ thành viên này luôn tồn tại $3$ thành viên mà hoặc là cả $3$ biết lẫn nhau hoặc là không ai biết ai cả.

Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.

[quangpbc]

Bài 4 quen quá rồi nhỉ, một chút graph thôi, R(3,3)=6

[phandung]

Bài 4 có thẻ giải như sau
Coi 6 nguời là 6 điểm $A_1 A_2,A_3....A_6$ To mầu đỏ vào cạnh $A_iA_j$ nếu $A_i A_j$ quen nhau Ta sẽ chứng minh là luôn tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu
Cái ni thì dùng đirichle là xong
Bai2 đặt $x+y=M y+z=N z+x=P$ khi đó thì $M N P $ là 3 góc của một tam giác
$F(x y z)= \dfrac{bccosN+cacosP+abcosM}{abc} \leq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc} $
@tuan :Làm bài có tôt không

[vịt con]

Bài 1 sử dụng Viét là okie,câu 2 như thế là đã được rồi,câu 4 chính là bài Toán ramsey,very easy