Môn thi: TOÁN HỌC Lớp 12
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: Cho $a$ và $b$ là các số dương, kí hiệu $t(a;b)$ là nghiệm dương của phương trình $(a+b)x^{2} -2(ab-1)x - (a+b) =0$. Đặt $M =$ {$($$a;b)|a$
$b,t(a;b)$ 
$ \sqrt{ab}} $. Tìm giá trị nhở nhất của $t(a;b)$ khi $(a;b)$ chạy khắp tập M.Bài 2: Cho tam giác $ABC$ có kích thước ba cạnh là các số tự nhiên và $sinA= \dfrac{sinB +sinC}{cosB+cosC} $. Gọi G là trọng tâm của tam giác $ABC$, chứng minh diện tích tam giác $ABG$ là số nguyên chẵn.
Bài 3: Kí hiệu số nguyên tố thứ $n$ là $P_n$. Chứng minh $P_n > 3n$ với $n$
$12$.Bài 4: Với giá trị thực nào của $a$ thì phương trình:
$lg(4x^{2} - (8a - 1)x +5a^{2}) + x^{2} +(1-2a)x + 2a^{2} = lg (x^{2} -2(a+1)x-a^{2})$.
Bài 5: Gọi $m$, $n$ là các số tự nhiên sao cho $A = \dfrac{(m+3)^{n} +1}{3m}$ là số nguyên. Chứng minh rằng A là số nguyên lẻ.
Bài 6: Xét hàm số $f(x) = \dfrac{x}{1+x^{2}} $. Chứng minh rằng nếu $(x+y)(xy-3)$
$0$ thì $f(x) + f(y) $ $2f( \dfrac{x+y}{2}) $.Bài 7: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có chu vi $P$. Đường tròn qua hai đỉnh $A$, $B$ và tiếp xúc với $CD$ có chu vi $P_{1}$; đường tròn qua hai đỉnh $B$, $C$ và tiếp xúc với $AD$ có chu vi $P_{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số $ \dfrac{P}{P_{1} + P_{2}} $.
