Chào htspmu/pmht.
Tôi thử đưa ra đây về cách xây dựng không gian giải tích nhé. Trước hết 1 không gian vành là $(X,\mathcal{O}_X)$, với X là 1 không gian topo, $\mathcal{O}_X \in \underline{Sh}_{/\mathbb{C}}(X)$ là 1 bó của $\mathbb{C}$-algebra sao cho tại mỗi điểm thì stalk $\mathcal{O}_{X,x}$ là 1 local ring và với mỗi tập mở $U \subset X$ và 1 lát cắt $s \in \mathcal{O}_X(U)$ thì reduction của nó $Red_U(s):U \rightarrow \mathbb{C}, \quad x \rightarrow s(x)= eval(s_x).$ là 1 ánh xạ liên tục (tức là ta xác định lát cắt tại mỗi điểm như là evalue mầm của nó.
Chú ý rằng với không gian vành thường chúng ta cho phép cả các không gian không giản ước (non-reduced), tức là vành địa phương của mầm hàm có thể chứa các nilpotent elements. 1 cấu xạ giữa 2 không gian vành là 1 cặp $(f,f'): (X,\mathcal{O}_X) \rightarrow (Y,\mathcal{O}_Y)$, với f là 1 ánh xạ liên tục giữa các không gian topo và $f':\mathcal{O}_Y \rightarrow f_{\star}\mathcal{O}_X$, điều này có nghĩa $f': \underline{Sh}_{/\mathbb{C}}(Y) \rightarrow \underline{Sh}_{/\mathbb{C}}(X)$ là 1 functor từ phạm trù bó các đại số phức trên Y vào phạm trù bó các đại số phức trên X.
Bây giờ chúng ta chuyển qua mô hình địa phương (local model). Gọi $D \subset \mathbb{C}^n$ là 1 miền bất kỳ, gọi $f_1,...,f_k \in \mathcal{O}_{\mathbb{C}^n}(D)$. Đặt $\mathcal{F}=\mathcal{O}_D f_1 +...+ \mathcal{O}_D f_k$. Đặt $N = \{x \in D : f_1(x) = ... = f_k(x) = 0\}$ (ta chọn ký hiệu N vì trong tiếng Đức N được xem như là viết tắt của Nullstellengebiet (miền các không điểm)). Dễ thấy cặp $(N,\mathcal{O}_D/\mathcal{F}_{|N})$ làm thành 1 không gian vành. Chứng minh không khó lắm, nhìn vào stalk.
1 không gian vành được gọi là mô hình địa phương (local model) nếu bó cấu trúc của nó đẳng cấu với $\mathcal{O}_D/\mathcal{F}_{|N}$. Mỗi 1 lát cắt trên 1 tập mở U của $N$ sẽ được gọi là 1 hàm chỉnh hình trên U. Hãy lấy 1 ví dụ tường minh để hiểu hơn về local model (trên thực tế thì học sơ qua cuốn Hartshorne rồi thì mấy cái này trở nên trivial).
Ví dụ: Xét Neil parabola, cho $U \subset \mathbb{C}^2$, xét hàm $f(z,w)=w^2-z^3$, local model tương ứng với nó là $V = V(f)$ được gọi là Neil parabola. Chúng ta thử dùng pp giải tích tính thử vành mầm hàm địa phương của Neil parabola tại (0,0) xem sao, để thấy đại số hiệu quả và đơn giản hơn giải tích. First of all the stalk is given by $\mathcal{O}_{V,(0,0)} = \mathbb{C}\{z,w\}/(w^2-z^3)$. Xét ánh xạ $\varphi: \mathbb{C}\{z,w\} \rightarrow \mathbb{C}\{t\}, \quad z \rightarrow t^2, w \rightarrow t^3$. Trước hết ánh xạ này cảm sinh 1 ánh xạ đơn ánh $\mathbb{C}\{z,w\}/(w^2-z^3) \rightarrow \mathbb{C}\{t\} $ với ảnh của nó được cho bởi $\{\sum_{k\geq 0}a_kt^k, a_k \in \mathbb{C}, a_1 = 0\}$. Chứng minh điều này không khó. Dễ thấy $w^2 - z^3 \in Ker(\varphi)$ do đó $\{\sum_{k\geq 0}a_kt^k, a_k \in \mathbb{C}, a_1 = 0\}$ là ảnh của ánh xạ này. Chỉ cần chứng minh $Ker(\varphi) \subset (w^2-z^3)$.
Lấy 1 hàm số $f(w,z) \in Ker(\varphi)$, viết nó dưới dạng $f(w,z)= g(z,w)(w^2-z^3)+a_0(z)+a_1(z)w$. Chỉ cần chứng minh $a_0(z)+a_1(z)w = 0$. Giả sử điều này không phải vậy thì rewrite $a_0(z)+a_1(z)w = z^k(b_0(z)+b_1(z)w)$ với $(b_0(0),b_1(0)) \neq (0,0)$. Thay lại vào $\varphi$, khai triển ra dễ dàng nhận được 1 contradiction với assumption là hàm f(w,z) thuộc vào hạch của ánh xạ $\varphi$.
Bây giờ chuyển lại qua lý thuyết. Ta định nghĩa 1 không gian phức (complex space) là 1 không gian vành $(X,\mathcal{O}_X)$ sao cho không gian topo nền là Hausdorff, ứng với mỗi điểm trong không gian tồn tại 1 tập mở U sao cho U cùng với bó cấu trúc của X giới hạn lên U làm thành 1 local model $(U,\mathcal{O}_X|U$. Mỗi 1 lát cắt trên 1 miền mở U được gọi là 1 hàm chỉnh hình trên U. Nếu X là 1 không gian phức, vậy thì mầm hàm tại mỗi điểm sẽ là $\mathcal{O}_{X,x} \simeq \mathbb{C} \{z_1,...,z_n \}/\mathfrak{a}$ với $\mathfrak{a} \subset \mathbb{C}\{z_1,...,z_n \}$ là 1 ideal hữu hạn sinh. 1 đại số như được gọi là đại số giải tích (analytical algebras, hay local algebras, hay Stellenalgebren...).
Cấu xạ giữa các không gian phức được gọi là ánh xạ chỉnh hình. Tập các ánh xạ song chỉnh hình (biholomorphic) của 1 không gian phức được gọi là nhóm các tự đẳng cấu trên không gian này, ký hiệu là $Aut_{\mathcal{O}}(X)$. Cũng giống như lý thuyết về lược đồ trong hình học đại số, giải tích phức cũng xây dựng các các không gian phức con đóng và mở tương tự như lược đồ con đóng mở. Tuy nhiên giải tích phức đơn giản hơn nhiều.
Chuyển qua về tập giải tích (analytical subset), của 1 không gian phức X là 1 tập con A sao cho tồn tại 1 không gian phức con Z của X để A = sp(Z), i.e. A làm thành không gian topo nền của không gian phức Z. Do đó 1 tập con của 1 không gian phức được gọi là tập giải tích nếu nó là 1 tập con đóng, với mỗi điểm nằm trong A tồn tại 1 tập con mở U của X sao cho A giao với U được mô tả bởi tập các không điểm của hữu hạn các hàm chỉnh hình.
1 không gian phức được gọi là chuẩn tắc (normal space) nếu tại mọi điểm x, đại số giải tích của nó $\mathcal{O}_{X,x}$ đóng nguyên trong trường các thương. 1 kết quả của Grauert cho ta biết, nếu không gian X chuẩn tắc vậy thì $dim_x X - dim_x Sing(X) \geq 2$. Tương tự như Schemes theory, chúng ta cũng có khái niệm các cấu xạ proper, finite..., tích thớ trong phạm trù $\underline{Complxsp}$ cũng được define như trong phạm trù $\underline{Schm}/S$.
1 thuật ngữ hay dùng trong giải tích phức đó là Modification mà tương ứng với bên hình học đại số gọi là nổ, tôi không muốn trình bầy lại ở đây, nên chỉ nhắc sơ qua, gọi X là 1 không gian phức, Y là 1 không gian con được xác định bởi ideal sheaf $\mathcal{I}_Y$, vậy thì modification trong trường hợp này tương ứng với $Bl_Y(X) = Proj(\oplus_k \mathcal{I}_Y^k$. Về chi tiết ví dụ như universal property... có thể xem Hartshorne, hoặc EGA. Trong giải tích phức còn 1 khái niệm nữa về hàm meromorphic và meromorphic maps, hoàn toàn tương ứng với hình học đại số nếu thay bởi rational, nên tôi cũng không nói đến cái này.
Bài sau tôi sẽ cố gắng trình bầy về dạng vi phân trên không gian phức (differential forms), không gian Kähler..., nên nhớ rằng chúng ta đang làm việc với những không gian rất tồi tệ, rất nhiều singularity, nhiều nilpotent, vậy nên chúng ta cũng phải tìm hiểu cách lấy tích phân các dạng vi phân trên các không gian này. Sau đó tôi sẽ trình bầy về cấu xạ phẳng (flat morphism) và phủ giải tích (analytical coverings) trong giải tích phức tương ứng với bên hình học đại số là cấu xạ etale và phủ etale.
Và cuối cùng hy vọng sẽ tiến tới được không gian giải tích, 1 khái niệm tương tự như algebraic cycles, Chow motives,... nhưng cái này là phần sau, chưa có tham vọng trình bầy hết cả vào đây. Riêng về Integration trên không gian phức cũng đã mất rất nhiều thời gian, vì nó sẽ refer sang 1 kết quả của Lelong.
Giải tích phức cũng có cách xây dựng Hilbert Schemes Hilb(X) như Grothendieck xây dựng trong FGA, thông qua cái gọi là Douady spaces. Đây là điểm cơ bản khi nghiên cứu nhóm các tự đẳng cấu trong giải tích phức, điều mà dẫn đến $Aut_{\mathcal{O}}(X)$ phải là 1 nhóm Lie phức. Đến đây thì lý thuyết biểu diễn nhóm Lie phức nhập cuộc.
