Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 5 Bình chọn

Công thức nghiệm tổng quát cho phương trình bậc 3!


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 63 trả lời

#21 phamleminh

phamleminh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết

Đã gửi 19-02-2008 - 03:33

phamleminh86 ơi, cậu chứng minh bằng lý thuyết Galois rằng pt bậc 3 không có công thức nghiệm biểu diễn bằng căn thức mà không dùng số ảo à? tại sao cậu không nghĩ kết luận đó sai?
Mình chỉ tin vào kết luận " từ phường trình bậc 5 trở lên không có công thức nghiệm tổng quát thôi ", cái này thì không cần bàn nhé! Còn DELTA<0 của phương trình bậc 3 trong trường hợp DELTA<0 có 3 nghiệm thực(vẫn tính theo công thức Cardano thôi, tuy nhiên nghiệm thực lúc này biểu diễn theo căn các số phức) thì cũng không cần phải bàn nhé!
Vấn đề là không thể đưa cái biểu diễn bằng số phức ấy về 3 nghiệm thực đúng không? Bởi vì cái này người ta chứng minh là không biểu diễn được ( có lẽ CÁI mà cậu đang nghĩ là cái này đúng không? ).ok?

Và mình muốn nói là với biến đổi khác để tìm ra 1 nghiệm thực của pt bậc 3 mà không dùng số ảo, và biểu diến được bằng căn thức như công thức của phương trình bậc 2 cơ, dĩ nhiên là công thức đó dùng cả CĂN BẬC 2 và CĂN BẬC 3 rồi, nhưng mà nó dài lắm. Tin có công thức đó không? với biến đổi hoàn toàn sơ cấp thôi!

Để mình tham khảo ý kiến của một số thầy đã, rồi mình sẽ cùng bàn nó với mọi người.

Tớ tất nhiên không phải là người đầu tiên dùng lí thuyết Galois(và có lẽ không đủ giỏi để làm như vậy) để chứng minh rằng trường hợp DELTA<0 có 3 nghiệm thực không thể biểu diễn bằng căn các số thực, kết quả này do nhân loại làm từ cách đây vài trăm năm rồi cơ, thế tớ mới dám phát biểu chắc như đinh đóng cột rằng bạn sai, còn ngược lại nếu bạn đúng thì toàn bộ nhân loại+các nhà toán học trong vài trăm năm trở lại đây đều sai cả rồi.Tất nhiên tớ cũng chẳng phải kẻ thuộc dạng "sùng bái vĩ nhân" thấy người ta nói thế nào thì nói theo thế đấy, tớ tin kết luận này vì tớ đã đọc chứng minh rất kĩ(chứng minh trong cuốn sách tớ giới thiệu ở trên đấy) rồi tớ mới tin.Còn nếu như cả tớ lẫn nhân loại đều sai hết cả thì cậu đã "phát minh" ra kết quả chấn động thế giới đấy, tớ xin có vài lời thế thôi,mong bạn tiếp tục giữ vững niềm đam mê toán học suốt đời!!

#22 quangtien84

quangtien84

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Âm nhạc, toán học và phụ nữ!

Đã gửi 20-02-2008 - 20:40

Cảm ơn! Để mình cũng đọc kỹ cuốn sách đó nhé! Nhưng đừng nói như mình là kẻ làm càn thế, mình không lên đây để cãi nhau và mình cũng không muốn cãi nhau! Nhưng dù sao mình vẫn tin vào biến đổi của mình, vì nó hoàn toàn sơ cấp và dễ hiểu, tất nhiên là một học sinh cấp 2 cũng có thể hiểu được. hẹn gặp lại trong một ngày gần nhất, khi mà đã có câu trả lời là mình có sai không! Chào nhé!
_QuangTien84_
××××××××××××××××××××
EConTech Javidic 2010 Final
EConTech Prodic 2010 Final
Lacviet Mtd 2010 EVA Full

××××××××××××××××××××

#23 quangtien84

quangtien84

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Âm nhạc, toán học và phụ nữ!

Đã gửi 23-04-2009 - 18:42

Lâu rồi mới vào diễn đàn, và cũng lâu rồi diện đàn mới hoạt động trở lại.

Cái mà mình nói ở trên, mình đã tham khảo và kiểm tra.
Hoàn toàn đúng!

Mọi người sẽ sớm được thấy phương pháp này trong thời gian tới!
_QuangTien84_
××××××××××××××××××××
EConTech Javidic 2010 Final
EConTech Prodic 2010 Final
Lacviet Mtd 2010 EVA Full

××××××××××××××××××××

#24 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 23-04-2009 - 19:09

Lâu rồi mới vào diễn đàn, và cũng lâu rồi diện đàn mới hoạt động trở lại.

Cái mà mình nói ở trên, mình đã tham khảo và kiểm tra.
Hoàn toàn đúng!

Mọi người sẽ sớm được thấy phương pháp này trong thời gian tới!


Hic,bạn ơi cái này hình như có lâu rồi.Bạn giở trang 101 cuốn ''Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học &Tuổi trẻ'' quyển 1 ra sẽ thấy bài viết giải PT bậc 3 tổng quát ko qua số phức ,mà biểu diễn bởi căn thức của GS TSKH Nguyễn văn Mậu :D

Nhưng bạn cứ post lên cho mọi người tham khảo nhé :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 23-04-2009 - 19:10

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#25 quangtien84

quangtien84

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Âm nhạc, toán học và phụ nữ!

Đã gửi 24-04-2009 - 19:58

Hic,bạn ơi cái này hình như có lâu rồi.Bạn giở trang 101 cuốn ''Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học &Tuổi trẻ'' quyển 1 ra sẽ thấy bài viết giải PT bậc 3 tổng quát ko qua số phức ,mà biểu diễn bởi căn thức của GS TSKH Nguyễn văn Mậu :D

Nhưng bạn cứ post lên cho mọi người tham khảo nhé :)


Hả, bạn đã xem xét kỹ chưa mà nói vậy.

Rất tiếc là mình không có cuốn tấp 1, mà chỉ có cuốn tập 3.
Nhưng theo mình đoán, khi DELTA âm họ dùng luợng giác chứ, ngoài các đó, trước nay mình chưa hề gặp cách nào khác.

Mình cũng đã tham khảo thông tin hơn 1 năm nay rồi, chưa có ai dám nói với DELTA âm giải được bằng căn thức như bạn vừa nói đâu.

Có thể cụ thể hơn về cái điều bạn nói không? mình đang rất quan tâm tới nó, xin vô cùng cảm ơn bạn trước.
Nếu bạn có sách tập 1 Tuyển tập các chuyên để toán học tuổi trẻ, có mục đó, mà lười viết có thể scan hay chụp ảnh và gửi cho mình được không, nếu nó giải bằng căn thức.

Còn nếu nó giải bằng luợng giác thì không cần chụp, và nói lại cho mình biết với nhé.
Thật vô cùng cảm ơn thông tin quý báu của bạn
_QuangTien84_
××××××××××××××××××××
EConTech Javidic 2010 Final
EConTech Prodic 2010 Final
Lacviet Mtd 2010 EVA Full

××××××××××××××××××××

#26 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 24-04-2009 - 22:10

Hả, bạn đã xem xét kỹ chưa mà nói vậy.

Rất tiếc là mình không có cuốn tấp 1, mà chỉ có cuốn tập 3.
Nhưng theo mình đoán, khi DELTA âm họ dùng luợng giác chứ, ngoài các đó, trước nay mình chưa hề gặp cách nào khác.

Mình cũng đã tham khảo thông tin hơn 1 năm nay rồi, chưa có ai dám nói với DELTA âm giải được bằng căn thức như bạn vừa nói đâu.

Có thể cụ thể hơn về cái điều bạn nói không? mình đang rất quan tâm tới nó, xin vô cùng cảm ơn bạn trước.
Nếu bạn có sách tập 1 Tuyển tập các chuyên để toán học tuổi trẻ, có mục đó, mà lười viết có thể scan hay chụp ảnh và gửi cho mình được không, nếu nó giải bằng căn thức.

Còn nếu nó giải bằng luợng giác thì không cần chụp, và nói lại cho mình biết với nhé.
Thật vô cùng cảm ơn thông tin quý báu của bạn

Mình cũng ko rõ lắm vì chưa biết cách của bạn thế nào,mình trình bày ý bài thầy Mậu ra luôn vậy

GPT bậc 3 TQ
Hiển nhiên đưa được PT về dạng $x^3+ax^2+bx+c$ (1)

Đặt $x=t-\dfrac{a}{3}$ ta đưa về $t^3+pt+q=0$ (2)

với $p=-a^2 /3 +b, q=2(a/3)^# -ab/3+c$

1)Nếu $p>0$ .Đặt $t=2\sqrt{\dfrac{p}{3}}.v$ đưa PT về dạng $4v^3+3v=m$ (3)

Trong đó $m=-q/(2\sqrt{(p/3)^3})$
Pt (3) chỉ có 1 nghiệm duy nhất vì nếu $v_0$ là nghiệm thì
$4(v^3-v_0^3)+3(v-v_0)=0$ hay
$(v-v_0)(4v^2+4vv_0+4v_{0}^2+3)=0$

mà biểu thức trong ngoặc thứ 2 dương

Chọn $\alpha=m+\sqrt{m^2+1} $ thì $m=1/2 (\alpha-1/\alpha)$
Khi đó nghiệm duy nhất của (3) là $v=1/2 (\sqrt[3]{\alpha}-1/\sqrt[3]{\alpha})$ dễ kiểm tra trực tiếp :)

2)nếu $p=0$ thì (2) có nghiệm duy nhất $t=-\sqrt[3]{q}$


3)Xét $p<0$.Đặt $t=(2\sqrt{\dfrac{-p}{3}}).v$ ta đưa (2) về dạng

$4v^3-3v=m$ (4) trong đó $m=-q/2\sqrt{(-p/3)^3} $
a) Nếu $|m|>1$ thì (4) có nghiệm duy nhất vì nếu $v_1$ là nghiệm thì $4(v^3-v_1^3)+3(v-v_1)=0$ và $|v_1|>1$ hay $(v-v_1)(4v^2+4vv_1+4v_{1}^2-3)=0$

Chú ý $4v^2+4vv_1+4v_{1}^2-3-(2v+v_1)^2+3(v_{1}^2-1)>0$
Chọn $\beta =m+\sqrt{m^2-1}$ thì $4m=1/2(\beta+1/\beta)$.
Khi đó nghiệm duy nhất của (4) là $v=1/2 (\sqrt[3]{\beta}+1/\sqrt[3]{\beta})$ dễ kiểm tra trực tiếp :D

b) Nếu $|m|\leq1$ thì đặt $m=cos\phi (o\leq\phi\leq\pi)$
khi đó chú ý $cos\phi=4cos^3 (\phi/30-3cos(\phi/3)$ ta có

các nghiệm của (4) là $v_1=cos(\phi/3)$ $v_2=cos((\phi+2\pi)/3)$
$ v_3=cos((\phi+4\pi)/3)$
Thay ngược lại tìm được nghiệm của (1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 24-04-2009 - 22:27

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#27 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 24-04-2009 - 22:30

Trong TH 3 b) vẫn phải dùng lượng giác nhưng công thức nghiệm cho các TH còn lại mình thấy khá hay :) .Hi vọng bạn có cách giải khác hoàn toàn dùng căn thức :D .Chúc bạn thành công .

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#28 muctieu-5

muctieu-5

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Russia Federation
  • Sở thích:Toán học + Vật lý

Đã gửi 24-04-2009 - 22:32

Làm như bác vuthanhtu_hd thì biểu diễn dưới dạng lượng giác rồi, đang cần tất cả biểu diễn thành dạng căn mà. Bác viết mấy biểu thức cos kia thành dạng căn đi.

#29 muctieu-5

muctieu-5

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Russia Federation
  • Sở thích:Toán học + Vật lý

Đã gửi 24-04-2009 - 22:35

Không ngờ bác vuthanhtu_hd trả lời nhanh vậy. Em cũng xin chúc bác quangtien84 biểu diễn được dạng lượng giác trên thành căn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi muctieu-5: 24-04-2009 - 22:37


#30 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 24-04-2009 - 22:50

Không ngờ bác vuthanhtu_hd trả lời nhanh vậy. Em cũng xin chúc bác quangtien84 biểu diễn được dạng lượng giác trên thành căn.

he he ,anh chưa đọc kĩ ý bạn quangtien84 nhưng cách trên chỉ dính lượng giác tí xíu :) và quan trọng là ko dính đến số phức.Nếu bạn quangtien84 biểu diễn được tất cả thành dạng căn thì sẽ trở thành người nổi tiếng đó :D.Khi ấy thật vinh dự cho diễn đàn mình :D

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#31 quangtien84

quangtien84

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Âm nhạc, toán học và phụ nữ!

Đã gửi 25-04-2009 - 00:30

Mình cũng ko rõ lắm vì chưa biết cách của bạn thế nào,mình trình bày ý bài thầy Mậu ra luôn vậy

GPT bậc 3 TQ
Hiển nhiên đưa được PT về dạng $x^3+ax^2+bx+c$ (1)

Đặt $x=t-\dfrac{a}{3}$ ta đưa về $t^3+pt+q=0$ (2)

với $p=-a^2 /3 +b, q=2(a/3)^# -ab/3+c$

1)Nếu $p>0$ .Đặt $t=2\sqrt{\dfrac{p}{3}}.v$ đưa PT về dạng $4v^3+3v=m$ (3)

Trong đó $m=-q/(2\sqrt{(p/3)^3})$
Pt (3) chỉ có 1 nghiệm duy nhất vì nếu $v_0$ là nghiệm thì
$4(v^3-v_0^3)+3(v-v_0)=0$ hay
$(v-v_0)(4v^2+4vv_0+4v_{0}^2+3)=0$

mà biểu thức trong ngoặc thứ 2 dương

Chọn $\alpha=m+\sqrt{m^2+1} $ thì $m=1/2 (\alpha-1/\alpha)$
Khi đó nghiệm duy nhất của (3) là $v=1/2 (\sqrt[3]{\alpha}-1/\sqrt[3]{\alpha})$ dễ kiểm tra trực tiếp :)

2)nếu $p=0$ thì (2) có nghiệm duy nhất $t=-\sqrt[3]{q}$
3)Xét $p<0$.Đặt $t=(2\sqrt{\dfrac{-p}{3}}).v$ ta đưa (2) về dạng

$4v^3-3v=m$ (4) trong đó $m=-q/2\sqrt{(-p/3)^3} $
a) Nếu $|m|>1$ thì (4) có nghiệm duy nhất vì nếu $v_1$ là nghiệm thì $4(v^3-v_1^3)+3(v-v_1)=0$ và $|v_1|>1$ hay $(v-v_1)(4v^2+4vv_1+4v_{1}^2-3)=0$

Chú ý $4v^2+4vv_1+4v_{1}^2-3-(2v+v_1)^2+3(v_{1}^2-1)>0$
Chọn $\beta =m+\sqrt{m^2-1}$ thì $4m=1/2(\beta+1/\beta)$.
Khi đó nghiệm duy nhất của (4) là $v=1/2 (\sqrt[3]{\beta}+1/\sqrt[3]{\beta})$ dễ kiểm tra trực tiếp :D

b) Nếu $|m|\leq1$ thì đặt $m=cos\phi (o\leq\phi\leq\pi)$
khi đó chú ý $cos\phi=4cos^3 (\phi/30-3cos(\phi/3)$ ta có

các nghiệm của (4) là $v_1=cos(\phi/3)$ $v_2=cos((\phi+2\pi)/3)$
$ v_3=cos((\phi+4\pi)/3)$
Thay ngược lại tìm được nghiệm của (1)



Phù phù, may quá, vậy là vẫn chưa có ai giải được rồi!
Cách giải lượng giác cho trường hợp DELTA âm này mình biết từ hồi đi thi học sinh giỏi lớp 9 ( tự đọc thêm thôi )

Hiện nay, với DELTA không âm, ta có cách giải của Cardano.
Với DELTA âm, người ta đưa về lượng giác và phải dùng hàm cos và arccos, dĩ nhiên công thức này không đại số và không phải là biểu diễn chính xác.
Ngoài ra, với cách biểu diễn qua số phức, không thể thu gọn về số thực được. Nếu dùng số phức và biểu diễn qua công thức khai căn số phức Moirve thì cuối cùng vẫn dùng hàm luợng giác mà thôi.

Ngoài ra, nếu dùng các phương pháp lặp ( xấp xỉ liên tiếp, dây cung ) mà các bạn được học trong phương pháp tính ở trường đại học, thì luôn giải được phương trình bậc n bất kì, tuy vậy đây chỉ là phương pháp xấp xỉ mà thôi.

Nhưng đặc biệt, phương pháp xấp xỉ này cho độ chính xác khá cao, và chúng được ứng dụng trong CASIO 500MS và 570MS cho độ chính xác cao.

Có một điều, nếu trường hợp DELTA dương, dĩ nhiên theo công thức Cardano, các bạn có thể tính được nghiệm chính xác theo căn thức. Các bạn hãy tính nghiệm này và so sánh với nghiệm mà máy tính cầm tay CASIO tính, nghiệm của các bạn sẽ kém chính xác hơn. Đó là do các bạn dùng công thức có nhiều dấu căn và lũy thừa nên có sai số tích lũy, không chính xác bằng phương pháp gần đúng là phương pháp lặp.

Mình giải quyết trường hợp DELTA âm không dựa theo DELTA của Cardano nữa, mà biến đổi theo các khác và công thức thu về có độ phức tạp gấp 3 lần công thức Cardano mà các bạn đã biết, do vậy sai số tích lũy còn lớn hơn cả công thức Cardano nữa.

Nhưng dù sao, đó cũng là công thức đại số.
Một công thức nghiệm đại số là công thức chỉ dùng hữu hạn 6 phép toán cơ bản: cộng, trừ, nhân, chia, lũy thùa và khai căn.

Ps:/ Cám ơn bạn Vũ Thanh Tú đã có hồi đáp cho mình, chân thành cảm ơn bạn!
_QuangTien84_
××××××××××××××××××××
EConTech Javidic 2010 Final
EConTech Prodic 2010 Final
Lacviet Mtd 2010 EVA Full

××××××××××××××××××××

#32 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-04-2009 - 07:12

Về việc giải các phương trình cơ bản như bậc 3, bậc 4, hệ 2 phương trình 2 biến, 3 phương trình 3 biến, các kỹ năng cơ bản như đổi biến, ẩn phụ, vân vân, các bạn nên tìm đọc cuốn sách của thầy Mậu, đây là hình bìa, có cả chữ ký của hungkhtn nhé :)

Hình đã gửi

#33 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 25-04-2009 - 11:54

Về việc giải các phương trình cơ bản như bậc 3, bậc 4, hệ 2 phương trình 2 biến, 3 phương trình 3 biến, các kỹ năng cơ bản như đổi biến, ẩn phụ, vân vân, các bạn nên tìm đọc cuốn sách của thầy Mậu, đây là hình bìa, có cả chữ ký của hungkhtn nhé :)


He ,em cũng có cuốn đó :D (mỗi tội thiếu chữ kí hungkhtn :D)

Còn về mấy pp lặp ,xấp xỉ liên tiếp,... hôm nào box casio mở mình sẽ viết qua về chúng :D
và một số kinh nghiệm ít ỏi của mình .

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#34 quangtien84

quangtien84

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Âm nhạc, toán học và phụ nữ!

Đã gửi 25-04-2009 - 19:40

He ,em cũng có cuốn đó :) (mỗi tội thiếu chữ kí hungkhtn :D)

Còn về mấy pp lặp ,xấp xỉ liên tiếp,... hôm nào box casio mở mình sẽ viết qua về chúng :D
và một số kinh nghiệm ít ỏi của mình .


Cuốn đó, chỉ dùng cho học sinh thi đại học thui.

Còn khi lên đại học, các bạn sẽ được học phương pháp lặp và ánh xạ co.

Các bạn ham tìm hiểu có thể mua cuốn phương pháp tính của ĐHBK HN ( mua ở chỗ cổng Parabol là có đó)
_QuangTien84_
××××××××××××××××××××
EConTech Javidic 2010 Final
EConTech Prodic 2010 Final
Lacviet Mtd 2010 EVA Full

××××××××××××××××××××

#35 quangtien84

quangtien84

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Âm nhạc, toán học và phụ nữ!

Đã gửi 12-05-2009 - 02:22

Thông thường phương trình bậc 3 tổng quát có thể giải được nghiệm theo 2 cách:
- Một là dùng công thức Cardano thì chỉ tính được với DELTA>0 (có thể có 1 hoặc 3 nghiệm R)
- Hai là dùng lượng giác thì tính được với DELTA<0 nhưng công thức cho ra nghiệm không chính xác vì phải tính theo hàm số Cos(3x) (luôn có 3 nghiệm R)

Thế mà theo Galois thì phương trình bậc 3 và 4 sẽ tính được nghiệm theo căn thức!
Mình đã tìm được cách tính nghiệm của phương trình bậc 3 có DELTA<0 bằng căn thức rồi...

Cho mình hỏi trên thế giới đã có ai tìm ra công thức nghiệm của phương trình bậc 3 có DELTA<0 bằng căn thức chưa vậy????????
Mình nghĩ là rồi vì nó rất đơn giản, nhưng mình chưa hề được nghe nói tới, mong mọi người ai biết chỉ giùm mình được không!!!


Hi hi, cuối cùng mình cũng tìm được câu trả lời roài.
Về công thức nghiệm đại số trong mọi trường hợp cho phương trình bậc 3 và bậc 4 từ trước tới nay là không có.

Sau đây là tất cả các phương pháp giải về phương trình bậc 3, nhưng không hoàn toàn đại số, mời các bạn tham khảo!


Vào đây để xem theo công thức toán học nè!

The cubic formula is the closed-form solution for a cubic equation, i.e., the roots of a cubic polynomial. A general cubic equation is of the form
z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0
(1)

(the coefficient a_3 of z^3 may be taken as 1 without loss of generality by dividing the entire equation through by a_3). Mathematica can solve cubic equations exactly using the built-in command Solve[a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 == 0, x]. The solution can also be expressed in terms of Mathematica algebraic root objects by first issuing SetOptions[Roots, Cubics -> False].

The solution to the cubic (as well as the quartic) was published by Gerolamo Cardano (1501-1576) in his treatise Ars Magna. However, Cardano was not the original discoverer of either of these results. The hint for the cubic had been provided by Niccolò Tartaglia, while the quartic had been solved by Ludovico Ferrari. However, Tartaglia himself had probably caught wind of the solution from another source. The solution was apparently first arrived at by a little-remembered professor of mathematics at the University of Bologna by the name of Scipione del Ferro (ca. 1465-1526). While del Ferro did not publish his solution, he disclosed it to his student Antonio Maria Fior (Boyer and Merzbach 1991, p. 283). This is apparently where Tartaglia learned of the solution around 1541.

To solve the general cubic (1), it is reasonable to begin by attempting to eliminate the a_2 term by making a substitution of the form
z=x-lambda.
(2)

Then
(x-lambda)^3+a_2(x-lambda)^2+a_1(x-lambda)+a_0=0
(3)
(x^3-3lambdax^2+3lambda^2x-lambda^3)+a_2(x^2-2lambdax+lambda^2)+a_1(x-lambda)+a_0=0
(4)
x^3+(a_2-3lambda)x^2+(a_1-2a_2lambda+3lambda^2)x+(a_0-a_1lambda+a_2lambda^2-lambda^3)=0.
(5)

The x^2 is eliminated by letting lambda=a_2/3, so
z=x-1/3a_2.
(6)

Then
z^3 = (x-1/3a_2)^3=x^3-a_2x^2+1/3a_2^2x-1/(27)a_2^3
(7)
a_2z^2 = a_2(x-1/3a_2)^2=a_2x^2-2/3a_2^2x+1/9a_2^3
(8)
a_1z = a_1(x-1/3a_2)=a_1x-1/3a_1a_2,
(9)

so equation (◇) becomes
x^3+(-a_2+a_2)x^2+(1/3a_2^2-2/3a_2^2+a_1)x-(1/(27)a_2^3-1/9a_2^3+1/3a_1a_2-a_0)=0
(10)
x^3+(a_1-1/3a_2^2)x-(1/3a_1a_2-2/(27)a_2^3-a_0)=0
(11)
x^3+3·(3a_1-a_2^2)/9x-2·(9a_1a_2-27a_0-2a_2^3)/(54)=0.
(12)

Defining
p = (3a_1-a_2^2)/3
(13)
q = (9a_1a_2-27a_0-2a_2^3)/(27)
(14)

then allows (◇) to be written in the standard form
x^3+px=q.
(15)

The simplest way to proceed is to make Vieta's substitution
x=w-p/(3w),
(16)

which reduces the cubic to the equation
w^3-(p^3)/(27w^3)-q=0,
(17)

which is easily turned into a quadratic equation in w^3 by multiplying through by w^3 to obtain
(w^3)^2-q(w^3)-1/(27)p^3=0
(18)

(Birkhoff and Mac Lane 1996, p. 106). The result from the quadratic formula is
w^3 = 1/2(q+/-sqrt(q^2+4/(27)p^3))
(19)
= 1/2q+/-sqrt(1/4q^2+1/(27)p^3)
(20)
= R+/-sqrt(R^2+Q^3),
(21)

where Q and R are sometimes more useful to deal with than are p and q. There are therefore six solutions for w (two corresponding to each sign for each root of w^3). Plugging w back in to (19) gives three pairs of solutions, but each pair is equal, so there are three solutions to the cubic equation.

Equation (◇) may also be explicitly factored by attempting to pull out a term of the form (x-B) from the cubic equation, leaving behind a quadratic equation which can then be factored using the quadratic formula. This process is equivalent to making Vieta's substitution, but does a slightly better job of motivating Vieta's "magic" substitution, and also at producing the explicit formulas for the solutions. First, define the intermediate variables
Q = (3a_1-a_2^2)/9
(22)
R = (9a_2a_1-27a_0-2a_2^3)/(54)
(23)

(which are identical to p and q up to a constant factor). The general cubic equation (◇) then becomes
x^3+3Qx-2R=0.
(24)

Let B and C be, for the moment, arbitrary constants. An identity satisfied by perfect cubic polynomial equations is that
x^3-B^3=(x-B)(x^2+Bx+B^2).
(25)

The general cubic would therefore be directly factorable if it did not have an x term (i.e., if Q=0). However, since in general Q!=0, add a multiple of (x-B)--say C(x-B)--to both sides of (25) to give the slightly messy identity
(x^3-B^3)+C(x-B)=(x-B)(x^2+Bx+B^2+C)=0,
(26)

which, after regrouping terms, is
x^3+Cx-(B^3+BC)=(x-B)[x^2+Bx+(B^2+C)]=0.
(27)

We would now like to match the coefficients C and -(B^3+BC) with those of equation (◇), so we must have
C=3Q
(28)
B^3+BC=2R.
(29)

Plugging the former into the latter then gives
B^3+3QB=2R.
(30)

Therefore, if we can find a value of B satisfying the above identity, we have factored a linear term from the cubic, thus reducing it to a quadratic equation. The trial solution accomplishing this miracle turns out to be the symmetrical expression
B=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3).
(31)

Taking the second and third powers of B gives
B^2 = [R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+2[R^2-(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)
(32)
= [R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)-2Q
(33)
B^3 = -2QB+{[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)}×{[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)}
(34)
= [R+sqrt(Q^3+R^2)]+[R-sqrt(Q^3+R^2)]+[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)-2QB
(35)
= -2QB+2R+[R^2-(Q^3+R^2)]^(1/3)×[(R+sqrt(Q^3+R^2))^(1/3)+(R-sqrt(Q^3+R^2))^(1/3)]
(36)
= -2QB+2R-QB
(37)
= -3QB+2R.
(38)

Plugging B^3 and B into the left side of (◇) gives
(-3QB+2R)+3QB=2R,
(39)

so we have indeed found the factor (x-B) of (◇), and we need now only factor the quadratic part. Plugging C=3Q into the quadratic part of (◇) and solving the resulting
x^2+Bx+(B^2+3Q)=0
(40)

then gives the solutions
x = 1/2[-B+/-sqrt(B^2-4(B^2+3Q))]
(41)
= -1/2B+/-1/2sqrt(-3B^2-12Q)
(42)
= -1/2B+/-1/2sqrt(3)isqrt(B^2+4Q).
(43)

These can be simplified by defining
A = [R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)-[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)
(44)
A^2 = [R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)-2[R^2-(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)
(45)
= [R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+2Q
(46)
= B^2+4Q,
(47)

so that the solutions to the quadratic part can be written
x=-1/2B+/-1/2sqrt(3)iA.
(48)

Defining
D = Q^3+R^2
(49)
S = RadicalBox[{R, +, {sqrt(, D, )}}, 3]
(50)
T = RadicalBox[{R, -, {sqrt(, D, )}}, 3],
(51)

where D is the polynomial discriminant (which is defined slightly differently, including the opposite sign, by Birkhoff and Mac Lane 1996) then gives very simple expressions for A and B, namely
B = S+T
(52)
A = S-T.
(53)

Therefore, at last, the roots of the original equation in z are then given by
z_1 = -1/3a_2+(S+T)
(54)
z_2 = -1/3a_2-1/2(S+T)+1/2isqrt(3)(S-T)
(55)
z_3 = -1/3a_2-1/2(S+T)-1/2isqrt(3)(S-T),
(56)

with a_2 the coefficient of z^2 in the original equation, and S and T as defined above. These three equations giving the three roots of the cubic equation are sometimes known as Cardano's formula. Note that if the equation is in the standard form of Vieta
x^3+px=q,
(57)

in the variable x, then a_2=0, a_1=p, and a_0=-q, and the intermediate variables have the simple form (cf. Beyer 1987)
Q = 1/3p
(58)
R = 1/2q
(59)
D = Q^3+R^2=(p/3)^3+(q/2)^2.
(60)

The solutions satisfy Vieta's formulas
z_1+z_2+z_3 = -a_2
(61)
z_1z_2+z_2z_3+z_1z_3 = a_1
(62)
z_1z_2z_3 = -a_0.
(63)

In standard form (◇), a_2=0, a_1=p, and a_0=-q, so eliminating q gives
p=-(z_i^2+z_iz_j+z_j^2)
(64)

for i!=j, and eliminating p gives
q=-z_iz_j(z_i+z_j)
(65)

for i!=j. In addition, the properties of the symmetric polynomials appearing in Vieta's formulas give
z_1^2+z_2^2+z_3^2 = -2p
(66)
z_1^3+z_2^3+z_3^3 = 3q
(67)
z_1^4+z_2^4+z_3^4 = 2p^2
(68)
z_1^5+z_2^5+z_3^5 = -5pq.
(69)

The equation for z_1 in Cardano's formula does not have an i appearing in it explicitly while z_2 and z_3 do, but this does not say anything about the number of real and complex roots (since S and T are themselves, in general, complex). However, determining which roots are real and which are complex can be accomplished by noting that if the polynomial discriminant D>0, one root is real and two are complex conjugates; if D=0, all roots are real and at least two are equal; and if D<0, all roots are real and unequal. If D<0, define
theta=cos^(-1)(R/(sqrt(-Q^3))).
(70)

Then the real solutions are of the form
z_1 = 2sqrt(-Q)cos(theta/3)-1/3a_2
(71)
z_2 = 2sqrt(-Q)cos((theta+2pi)/3)-1/3a_2
(72)
z_3 = 2sqrt(-Q)cos((theta+4pi)/3)-1/3a_2.
(73)

This procedure can be generalized to find the real roots for any equation in the standard form (◇) by using the identity
sin^3theta-3/4sintheta+1/4sin(3theta)=0
(74)

(Dickson 1914) and setting
x=sqrt((4|p|)/3)y
(75)

(Birkhoff and Mac Lane 1996, pp. 90-91), then
((4|p|)/3)^(3/2)y^3+psqrt((4|p|)/3)y=q
(76)
y^3+3/4p/(|p|)y=(3/(4|p|))^(3/2)q
(77)
4y^3+3sgn(p)y=1/2q(3/(|p|))^(3/2)=C.
(78)

If p>0, then use
sinh(3theta)=4sinh^3theta+3sinhtheta
(79)

to obtain
y=sinh(1/3sinh^(-1)C).
(80)

If p<0 and |C|>=1, use
cosh(3theta)=4cosh^3theta-3coshtheta,
(81)

and if p<0 and |C|<=1, use
cos(3theta)=4cos^3theta-3costheta,
(82)

to obtain
y={cosh(1/3cosh^(-1)C) for C>=1; -cosh(1/3cosh^(-1)|C|) for C<=-1; cos(1/3cos^(-1)C) [three solutions] for |C|<1.
(83)

The solutions to the original equation are then
x_i=2sqrt((|p|)/3)y_i-1/3a_2.
(84)

An alternate approach to solving the cubic equation is to use Lagrange resolvents (Faucette 1996). Let omega=e^(2pii/3), define
(1,x_1) = x_1+x_2+x_3
(85)
(omega,x_1) = x_1+omegax_2+omega^2x_3
(86)
(omega^2,x_1) = x_1+omega^2x_2+omegax_3,
(87)

where x_i are the roots of
x^3+px-q=0,
(88)

and consider the equation
[x-(u_1+u_2)][x-(omegau_1+omega^2u_2)][x-(omega^2u_1+omegau_2)]=0,
(89)

where u_1 and u_2 are complex numbers. The roots are then
x_j=omega^ju_1+omega^(2j)u_2
(90)

for j=0, 1, 2. Multiplying through gives
x^3-3u_1u_2x-(u_1^3+u_2^3)=0,
(91)

which can be written in the form (88), where
u_1^3+u_2^3 = q
(92)
u_1^3u_2^3 = -(p/3)^3.
(93)

Some curious identities involving the roots of a cubic equation due to Ramanujan are given by Berndt (1994).


Như vậy, theo mình nghĩ, mình là người đầu tiên tìm ra công thức nghiệm đại số tổng quát trong mọi trường hợp cho phương trình bậc 3 và bậc 4 tổng quát, có ai có ý kiến gì không?
_QuangTien84_
××××××××××××××××××××
EConTech Javidic 2010 Final
EConTech Prodic 2010 Final
Lacviet Mtd 2010 EVA Full

××××××××××××××××××××

#36 let

let

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 12-05-2009 - 09:02

Sao quangtien lãng phí thời gian thế nhỉ? Cái mà mọi người muốn chờ đợi ở đây là kiểm tra tính chính xác trong phương pháp giải của bạn thôi. Chứ cứ lên đây cãi nhau về cái mà người khác chẳng biết mặt mũi nó như thế nào. Tốt nhất khi bạn rất tin tưởng vào kết quả của mình như vậy thì hãy công bố trên một tạp chí uy tín. Nếu kết quả chính xác thì bạn sẽ nổi tiếng tòan thế giới. Cũng hy vọng là tôi vừa được nói chuyện với 1 vĩ nhân! Còn topic này thì mod nên đóng lại ở đây được rồi. Không giúp ích được gì cho quangtien đâu!

#37 quangtien84

quangtien84

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Âm nhạc, toán học và phụ nữ!

Đã gửi 12-05-2009 - 23:41

Sao quangtien lãng phí thời gian thế nhỉ? Cái mà mọi người muốn chờ đợi ở đây là kiểm tra tính chính xác trong phương pháp giải của bạn thôi. Chứ cứ lên đây cãi nhau về cái mà người khác chẳng biết mặt mũi nó như thế nào. Tốt nhất khi bạn rất tin tưởng vào kết quả của mình như vậy thì hãy công bố trên một tạp chí uy tín. Nếu kết quả chính xác thì bạn sẽ nổi tiếng tòan thế giới. Cũng hy vọng là tôi vừa được nói chuyện với 1 vĩ nhân! Còn topic này thì mod nên đóng lại ở đây được rồi. Không giúp ích được gì cho quangtien đâu!


Topic nên đóng ở đây, đúng thế.
Mình tin tưởng vào kết quả của mình, cài mình hỏi trong suốt 1 năm qua là kết quả tương tự đã có ai công bố chưa thôi, nhưng nay mình chưa tìm thấy 1 công bố nào, trên các tạp trí uy tín và đầy đủ.

Việc còn lại của mình là công bố nó thôi, tuy cũng chẳng có gì ghê gớm, nhưng hy vọng nó cũng là 1 cái mới mẻ!
_QuangTien84_
××××××××××××××××××××
EConTech Javidic 2010 Final
EConTech Prodic 2010 Final
Lacviet Mtd 2010 EVA Full

××××××××××××××××××××

#38 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-05-2009 - 08:59

Cũng hay đấy chứ, có phải việc bạn quangtien84 định làm là chỉ ra công thức nghiệm tổng quát bằng căn thức trong trường hợp phương trình bậc 3 có đủ 3 nghiệm thực mà lại có delta âm à, nếu đúng thì bài viết của bạn xứng đáng được đăng trên mục Bạn đọc tìm tòi của báo Toán học tuổi trẻ ngày xưa đấy. Viết 1 bài cụ thể để giới thiệu kết quả của bạn với mọi người đi bạn ơi, sẽ ko có ai nẫng mất bản quyền của bạn đâu, nên bạn cứ yên tâm mà public. Nếu bài viết của bạn thực sự chất lượng mà bạn gặp khó khăn trong việc liên lạc với các ban biên tập thì tớ có thể gởi giúp lên tòa soạn THTT cho :)

#39 quangtien84

quangtien84

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Âm nhạc, toán học và phụ nữ!

Đã gửi 13-05-2009 - 23:54

Cũng hay đấy chứ, có phải việc bạn quangtien84 định làm là chỉ ra công thức nghiệm tổng quát bằng căn thức trong trường hợp phương trình bậc 3 có đủ 3 nghiệm thực mà lại có delta âm à, nếu đúng thì bài viết của bạn xứng đáng được đăng trên mục Bạn đọc tìm tòi của báo Toán học tuổi trẻ ngày xưa đấy.


Chính xác là mình muốn nói đến cài này đó, cảm ơn MrMath đã lắng nghe và ủng hộ mình!

Nếu bài viết của bạn thực sự chất lượng mà bạn gặp khó khăn trong việc liên lạc với các ban biên tập thì tớ có thể gởi giúp lên tòa soạn THTT cho :)


Rất cảm ơn bạn, mình chính là chỉ còn mắc vấn đề này, nhất dịnh, khi cần sự giúp đỡ mình sẽ nhờ vả bạn. Xin được cảm ơn bạn trước nha!
_QuangTien84_
××××××××××××××××××××
EConTech Javidic 2010 Final
EConTech Prodic 2010 Final
Lacviet Mtd 2010 EVA Full

××××××××××××××××××××

#40 quangtien84

quangtien84

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Âm nhạc, toán học và phụ nữ!

Đã gửi 25-05-2009 - 23:32

Hi hi, mình đã tìm hiểu xong thủ tục đăng kí.
Cũng đã tham khảo tiến sĩ toán của ĐH SP1 HN.

Sẽ sớm đăng kí và công bố cùng mọi người.
Hãy đợi nhé!
_QuangTien84_
××××××××××××××××××××
EConTech Javidic 2010 Final
EConTech Prodic 2010 Final
Lacviet Mtd 2010 EVA Full

××××××××××××××××××××




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh