Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

x^n = x


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#1 Ham_Toan

Ham_Toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết

Đã gửi 09-05-2005 - 18:29

Em nghe thầy em nói đến bài toán sau:
CHo G là một vành có vành đơn vị, n là một số tự nhiên cho trước sao cho http://dientuvietnam...metex.cgi?x^n=x :P x :pm G.
Khi đó G là một vành giao hoán.

Thú thật với mấy anh rằng, bài toán đó em chỉ giải được trong trường hợp n =2, còn với n = 3 thì e bó tay. E có các câu hỏi muốn hỏi mấy a như sau :
1. Trong trường hợp n = 3, ta giải như thế nào ? Và với số n cao hơn thì hướng CM ra sao ?
2. Có trang web hay bất cứ tài lịệu nào liên quan đến bài toán trên không ? Bởi vì em biết rằng, người ta đã tổng quát số mũ n thành một hàm theo biến x luôn. Bài này hay lắm !

#2 Lotus

Lotus

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Đã gửi 11-05-2005 - 09:32

Trong trường hợp n=2 thực ra không cần phải dữ kiện vành có đơn vị. Dễ dàng có được http://dientuvietnam...imetex.cgi?x=-x với mọi x :delta G, thế thì với a,b :vdots G ta có: http://dientuvietnam...ex.cgi?a b=(a b)^2=a^2+b^2+ab+ba=a+b+ab-ba :vdots http://dientuvietnam...etex.cgi?ab=ba.

Với n cao hơn có lẽ phải cần dữ kiện vành có đơn vị.
gần bùn mà chẳng hôi tanh mùi bùn.

#3 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 11-05-2005 - 14:04

Trong trường hợp n=2 thực ra không cần phải dữ kiện vành có đơn vị. Dễ dàng có được http://dientuvietnam...imetex.cgi?x=-x với mọi x :delta G, thế thì với a,b :vdots G ta có: http://dientuvietnam...ex.cgi?a b=(a b)^2=a^2+b^2+ab+ba=a+b+ab-ba  :vdots http://dientuvietnam...etex.cgi?ab=ba.

Với n cao hơn có lẽ phải cần dữ kiện vành có đơn vị.


Lotus có thể chỉ ra chỗ "dễ dàng có được x=-x" rõ hơn được không? Mình chỉ biết nếu vành G có đơn vị thì suy ra được x=-x, còn nếu G không có đơn vị thì chưa biết suy ra như thế nào.

#4 Lotus

Lotus

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Đã gửi 11-05-2005 - 14:46

Vì em thấy có tính chất http://dientuvietnam...mimetex.cgi?(-x)^2=x^2 trong vành mà không ghi rõ có đơn vị hay không.
gần bùn mà chẳng hôi tanh mùi bùn.

#5 nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 11-05-2005 - 17:31

Mình nghĩ tính chất có đơn vị hay không đều không ảnh hưởng tới kết quả bài toán, ít nhất là trong trường hợp n=2,3.
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#6 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 11-05-2005 - 18:01

Hi,
Bài này (n=2) là một bài thi học kỳ môn đại số ở trường của anh. Điều kiện vành có đơn vị hình như không cần thiết vì từ ab+ba=0, ta lấy b=a để có 2a^2 = 2a=0 nên a=-a.

anh cũng đã thử làm trường hợp n=3 bằng phương pháp như với n=2, còn với n >= 4 thì chưa thử vì nghĩ chắc phải có phương pháp khác.

Chứng minh với n=3:
Xét tổng (x+y)^3 = x+y, ta suy ra x^2 y + xyx + yx^2=0 (1). Trường hợp đặc biệt khi x=y, ta có 3x^3 = 3x = 0. Vậy vành này có đặc trưng 3.

Viết lại (1) dưới dạng: xyx= -x^2y - yx^2 = 2(x^2y + yx^2). Ta sẽ sử dụng công thức này để biến đổi

x^2yx = x^2 yx^3 = x^2yx^2 x = 2(yx^4 + x^4 y)x = 2yx^5 + 2x^4yx = 2yx + 2x^2yx, ta rút ra
2yx+x^2yx=0. Do đó yx=x^2yx. (2)

Tương tựnhư trên, ta co ́xyx^2 = x x^2yx^2 = 2x(x^4 y+ yx^4) = 2x^5y + 2xyx^2 = 2xy + 2xyx^2, do đó xy= xyx^2. (3)

Mặt khác x^2yx= x xyx= 2x (x^2y+yx^2) = 2xy + 2xyx^2. Dùng (2) và (3), ta nhận được
yx= 2xy + 2xy = xy. QED.

#7 nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 11-05-2005 - 18:13

off: Bài này với n=3 là bài kiểm tra của lớp mình, đề bài không nói G có đơn vị và mình cũng làm theo hướng anh bupbebe. Từ đó mình suy diễn rằng tính chất có đơn vị hay không không ảnh hưởng. Thử chứng minh cho điều này nhỉ !?
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#8 Ham_Toan

Ham_Toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết

Đã gửi 14-05-2005 - 13:20

off: Bài này với n=3 là bài kiểm tra của lớp mình, đề bài không nói G có đơn vị và mình cũng làm theo hướng anh bupbebe. Từ đó mình suy diễn rằng tính chất có đơn vị hay không không ảnh hưởng. Thử chứng minh cho điều này nhỉ !?

Đúng rồi đề bài này không cho vành G có đơn vị, (cho mình xin lỗi nha !) nhưng làm theo ý của bubebe thì có thể cũng ra đó, chỉ cần chỉnh lại tí xíu là đươc rồi.

Vậy còn bài toán tổng quát , thì ntn đây ?

#9 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 15-05-2005 - 14:44

Bài toán trên là một định lý của Jacobson (tìm bằng từ khóa Jacobson's theorem sẽ thấy), thực ra định lý phát biểu khác một chút (tổng quát hơn bài toán):
Cho G là một vành bất kỳ (không nhất thiết có đơn vị), giả sử với mọi x thuộc G tồn tại n=n(x)>1 (phụ thuộc x) sao cho x^n=x. Khi đó G là một vành giao hoán.

#10 N.V.Minh

N.V.Minh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Đã gửi 15-05-2005 - 18:23

Một số tính chất của vành này có thể xem phần bài tập chương 3 cuốn "The theory of rings" của McCoy .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 15-05-2005 - 18:35

Iêu nhau trọn vẹn một tuần .
Em khen : Anh quá cù lần . Bỏ anh !

#11 Ham_Toan

Ham_Toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết

Đã gửi 17-05-2005 - 15:42

Xét tổng (x+y)^3 = x+y, ta suy ra x^2 y + xyx + yx^2=0  (1).

bubebebe oi, mình chỉ có 2http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x^2y+xyx+yx^2)=0 làm sao suy ra được (1). Có sai sót j chăng ?

#12 nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 17-05-2005 - 17:12

bubebebe oi, mình chỉ có 2http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x^2y+xyx+yx^2)=0 làm sao suy ra được (1). Có sai sót j chăng ?

Mình cũng chỉ có là: http://dientuvietnam...2(x^2y xyx yx^2)=0 và http://dientuvietnam...2(y^2x yxy xy^2)=0.
Từ đây có http://dientuvietnam...?2(yx^2y y^2x^2)=-2yxyx và http://dientuvietnam...?2(y^2x^2 xy^2x)=-2yxyx
suy ra http://dientuvietnam...i?2yx^2y=2xy^2x, và sử dụng điều này để biến đổi.
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#13 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 17-05-2005 - 21:27

bubebebe oi, mình chỉ có 2http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x^2y+xyx+yx^2)=0 làm sao suy ra được (1). Có sai sót j chăng ?

Mình cũng chỉ có là: http://dientuvietnam...2(x^2y xyx yx^2)=0 và http://dientuvietnam...2(y^2x yxy xy^2)=0.
Từ đây có http://dientuvietnam...?2(yx^2y y^2x^2)=-2yxyx và http://dientuvietnam...?2(y^2x^2 xy^2x)=-2yxyx
suy ra http://dientuvietnam...i?2yx^2y=2xy^2x, và sử dụng điều này để biến đổi.

A, xin lỗi - đúng là chỉ có 2(x^2y + xyx+ yx^2) =0 thôi, và ta chỉ có 6x=0 với mọi x trong R. Vậy chắc theo cách đã làm thì chỉ được 2xy=2yx. Làm thế nào để bỏ con 2 này đi nhỉ. Ít nhất thì ta biết 2R là vành giao hoán.

Chắc pảhi quay lại từ đầu: x^2y + xyx+ yx^2= y^2x+ yxy+ xy^2. Phải làm cách nào để bỏ sự đối xứng đi. Nếu lấy y=zx thì ta có:

x^2 zx+ xzx^2+ zx^3 = zxzx^2+ zx^2zx+ xzxzx.

Trường hợp đặc biệt nếu z=x thì 3x^4 = 3x^5 hay 3x=3x^2.

Tôi chịu, chưa biết tiếp tục thế nào :-)

#14 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 17-05-2005 - 21:39

Tiếp tục:

Ta có 2R giao hoán. Modulo 2, R/2R cũng giao hoán vì từ 3x=3x^2 ta có x=x^2 rồi dùng kq với n=2. Cuối cùng nếu 2a thuộc 2R và b thuộc R/2R thì 2a b = b 2a = 2ba cũng giao hoán!

#15 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 18-05-2005 - 13:47

Giả sử ta đã có 6x=0, 3x^2=3x, và 2xy=2yx (xem các bài post của bác bupbebe).

Khi đó, từ 3(x+y)=3(x+y)^2=3(x^2+xy+yx+y^2), suy ra 3xy+3yx=0. Vì 6yx=0 suy ra 3xy-3yx=0, kết hợp với 2xy=2yx, suy ra xy=yx.

#16 Ham_Toan

Ham_Toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết

Đã gửi 21-05-2005 - 00:56

Trong trường hợp n=3, mình mới nghĩ ra cách giải khá độc đáo:
1. Nếu xy=0 thì suy ra yx=0 (dễ CM). vậy xy=yx(=0)
2. :) x,y, ta có: http://dientuvietnam...^3y-xy=x(x^2y-y)=(x^2y-y)x
:exists http://dientuvietnam...gi?0=y^2(x^2y-y)x
hay http://dientuvietnam...i?y^2x^2yx-yx=0
:in http://dientuvietnam...?0=y^2x^2yx-(yx)^3=y(yx-xy)xyx=(yx-xy)(yx)^2
:in http://dientuvietnam...etex.cgi?(yx-xy)(yx)^3=(yx-xy)yx=0 (1)
http://dientuvietnam...etex.cgi?(xy-yx)^2=(xy-yx)xy+(yx-xy)yx.Theo (1) :in http://dientuvietnam...etex.cgi?(xy-yx)^2=0
Vạy http://dientuvietnam...gi?xy-yx=(xy-yx)^3=0 (đpcm)

#17 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 24-05-2005 - 18:34

Nếu xy=0 thì suy ra yx=0 (dễ CM). vậy xy=yx(=0)


Xin lỗi, nhưng Ham_Toan viết cụ thể hơn được không?

#18 Ham_Toan

Ham_Toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết

Đã gửi 27-05-2005 - 22:33

Nếu xy=0, ta có: yx=(yx)^3=yx.yx.yx=y(xy)(xy)x=0.
Điều này là wá hiển nhiên nhỉ ! Cách Cm này, theo mình là 1 cách CM khá hay, mình tìm ra khá tình cờ (nếu ko muốn nói là "rùa") hì..hì..

#19 tnk

tnk

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết

Đã gửi 27-05-2005 - 23:50

Hoi nam thu 2 dai hoc, toi cung thu chung minh dinh ly nay, nhung chiu thua. Truong hop dac biet khi n la constant thi chung ta co dinh ly Wedderburn.

Neu ban bat dau buoc vao hoc Algebra ma cu the la Group Theory, toi recommend ban doc cuon cua Herstein: Topics in Algebra. Toi tin la cac thay o VN day ve Algebra deu co cuon nay.
Em là bông hoa kì diệu
Anh là hòn ngọc sáng trong...

#20 Ham_Toan

Ham_Toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết

Đã gửi 01-06-2005 - 23:34

trường hợp n=3 đã giải xong, vậy còn n=4 thì sao đây ?




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh