x^n = x
#1
Đã gửi 09-05-2005 - 18:29
CHo G là một vành có vành đơn vị, n là một số tự nhiên cho trước sao cho http://dientuvietnam...metex.cgi?x^n=x x G.
Khi đó G là một vành giao hoán.
Thú thật với mấy anh rằng, bài toán đó em chỉ giải được trong trường hợp n =2, còn với n = 3 thì e bó tay. E có các câu hỏi muốn hỏi mấy a như sau :
1. Trong trường hợp n = 3, ta giải như thế nào ? Và với số n cao hơn thì hướng CM ra sao ?
2. Có trang web hay bất cứ tài lịệu nào liên quan đến bài toán trên không ? Bởi vì em biết rằng, người ta đã tổng quát số mũ n thành một hàm theo biến x luôn. Bài này hay lắm !
#2
Đã gửi 11-05-2005 - 09:32
Với n cao hơn có lẽ phải cần dữ kiện vành có đơn vị.
#3
Đã gửi 11-05-2005 - 14:04
Trong trường hợp n=2 thực ra không cần phải dữ kiện vành có đơn vị. Dễ dàng có được http://dientuvietnam...imetex.cgi?x=-x với mọi x G, thế thì với a,b G ta có: http://dientuvietnam...ex.cgi?a b=(a b)^2=a^2+b^2+ab+ba=a+b+ab-ba http://dientuvietnam...etex.cgi?ab=ba.
Với n cao hơn có lẽ phải cần dữ kiện vành có đơn vị.
Lotus có thể chỉ ra chỗ "dễ dàng có được x=-x" rõ hơn được không? Mình chỉ biết nếu vành G có đơn vị thì suy ra được x=-x, còn nếu G không có đơn vị thì chưa biết suy ra như thế nào.
#4
Đã gửi 11-05-2005 - 14:46
#5
Đã gửi 11-05-2005 - 17:31
#6
Đã gửi 11-05-2005 - 18:01
Bài này (n=2) là một bài thi học kỳ môn đại số ở trường của anh. Điều kiện vành có đơn vị hình như không cần thiết vì từ ab+ba=0, ta lấy b=a để có 2a^2 = 2a=0 nên a=-a.
anh cũng đã thử làm trường hợp n=3 bằng phương pháp như với n=2, còn với n >= 4 thì chưa thử vì nghĩ chắc phải có phương pháp khác.
Chứng minh với n=3:
Xét tổng (x+y)^3 = x+y, ta suy ra x^2 y + xyx + yx^2=0 (1). Trường hợp đặc biệt khi x=y, ta có 3x^3 = 3x = 0. Vậy vành này có đặc trưng 3.
Viết lại (1) dưới dạng: xyx= -x^2y - yx^2 = 2(x^2y + yx^2). Ta sẽ sử dụng công thức này để biến đổi
x^2yx = x^2 yx^3 = x^2yx^2 x = 2(yx^4 + x^4 y)x = 2yx^5 + 2x^4yx = 2yx + 2x^2yx, ta rút ra
2yx+x^2yx=0. Do đó yx=x^2yx. (2)
Tương tựnhư trên, ta co ́xyx^2 = x x^2yx^2 = 2x(x^4 y+ yx^4) = 2x^5y + 2xyx^2 = 2xy + 2xyx^2, do đó xy= xyx^2. (3)
Mặt khác x^2yx= x xyx= 2x (x^2y+yx^2) = 2xy + 2xyx^2. Dùng (2) và (3), ta nhận được
yx= 2xy + 2xy = xy. QED.
#7
Đã gửi 11-05-2005 - 18:13
#8
Đã gửi 14-05-2005 - 13:20
Đúng rồi đề bài này không cho vành G có đơn vị, (cho mình xin lỗi nha !) nhưng làm theo ý của bubebe thì có thể cũng ra đó, chỉ cần chỉnh lại tí xíu là đươc rồi.off: Bài này với n=3 là bài kiểm tra của lớp mình, đề bài không nói G có đơn vị và mình cũng làm theo hướng anh bupbebe. Từ đó mình suy diễn rằng tính chất có đơn vị hay không không ảnh hưởng. Thử chứng minh cho điều này nhỉ !?
Vậy còn bài toán tổng quát , thì ntn đây ?
#9
Đã gửi 15-05-2005 - 14:44
Cho G là một vành bất kỳ (không nhất thiết có đơn vị), giả sử với mọi x thuộc G tồn tại n=n(x)>1 (phụ thuộc x) sao cho x^n=x. Khi đó G là một vành giao hoán.
#10
Đã gửi 15-05-2005 - 18:23
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 15-05-2005 - 18:35
Em khen : Anh quá cù lần . Bỏ anh !
#11
Đã gửi 17-05-2005 - 15:42
bubebebe oi, mình chỉ có 2http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x^2y+xyx+yx^2)=0 làm sao suy ra được (1). Có sai sót j chăng ?Xét tổng (x+y)^3 = x+y, ta suy ra x^2 y + xyx + yx^2=0 (1).
#12
Đã gửi 17-05-2005 - 17:12
Mình cũng chỉ có là: http://dientuvietnam...2(x^2y xyx yx^2)=0 và http://dientuvietnam...2(y^2x yxy xy^2)=0.bubebebe oi, mình chỉ có 2http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x^2y+xyx+yx^2)=0 làm sao suy ra được (1). Có sai sót j chăng ?
Từ đây có http://dientuvietnam...?2(yx^2y y^2x^2)=-2yxyx và http://dientuvietnam...?2(y^2x^2 xy^2x)=-2yxyx
suy ra http://dientuvietnam...i?2yx^2y=2xy^2x, và sử dụng điều này để biến đổi.
#13
Đã gửi 17-05-2005 - 21:27
A, xin lỗi - đúng là chỉ có 2(x^2y + xyx+ yx^2) =0 thôi, và ta chỉ có 6x=0 với mọi x trong R. Vậy chắc theo cách đã làm thì chỉ được 2xy=2yx. Làm thế nào để bỏ con 2 này đi nhỉ. Ít nhất thì ta biết 2R là vành giao hoán.Mình cũng chỉ có là: http://dientuvietnam...2(x^2y xyx yx^2)=0 và http://dientuvietnam...2(y^2x yxy xy^2)=0.bubebebe oi, mình chỉ có 2http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x^2y+xyx+yx^2)=0 làm sao suy ra được (1). Có sai sót j chăng ?
Từ đây có http://dientuvietnam...?2(yx^2y y^2x^2)=-2yxyx và http://dientuvietnam...?2(y^2x^2 xy^2x)=-2yxyx
suy ra http://dientuvietnam...i?2yx^2y=2xy^2x, và sử dụng điều này để biến đổi.
Chắc pảhi quay lại từ đầu: x^2y + xyx+ yx^2= y^2x+ yxy+ xy^2. Phải làm cách nào để bỏ sự đối xứng đi. Nếu lấy y=zx thì ta có:
x^2 zx+ xzx^2+ zx^3 = zxzx^2+ zx^2zx+ xzxzx.
Trường hợp đặc biệt nếu z=x thì 3x^4 = 3x^5 hay 3x=3x^2.
Tôi chịu, chưa biết tiếp tục thế nào :-)
#14
Đã gửi 17-05-2005 - 21:39
Ta có 2R giao hoán. Modulo 2, R/2R cũng giao hoán vì từ 3x=3x^2 ta có x=x^2 rồi dùng kq với n=2. Cuối cùng nếu 2a thuộc 2R và b thuộc R/2R thì 2a b = b 2a = 2ba cũng giao hoán!
#15
Đã gửi 18-05-2005 - 13:47
Khi đó, từ 3(x+y)=3(x+y)^2=3(x^2+xy+yx+y^2), suy ra 3xy+3yx=0. Vì 6yx=0 suy ra 3xy-3yx=0, kết hợp với 2xy=2yx, suy ra xy=yx.
#16
Đã gửi 21-05-2005 - 00:56
1. Nếu xy=0 thì suy ra yx=0 (dễ CM). vậy xy=yx(=0)
2. x,y, ta có: http://dientuvietnam...^3y-xy=x(x^2y-y)=(x^2y-y)x
http://dientuvietnam...gi?0=y^2(x^2y-y)x
hay http://dientuvietnam...i?y^2x^2yx-yx=0
http://dientuvietnam...?0=y^2x^2yx-(yx)^3=y(yx-xy)xyx=(yx-xy)(yx)^2
http://dientuvietnam...etex.cgi?(yx-xy)(yx)^3=(yx-xy)yx=0 (1)
Mà http://dientuvietnam...etex.cgi?(xy-yx)^2=(xy-yx)xy+(yx-xy)yx.Theo (1) http://dientuvietnam...etex.cgi?(xy-yx)^2=0
Vạy http://dientuvietnam...gi?xy-yx=(xy-yx)^3=0 (đpcm)
#17
Đã gửi 24-05-2005 - 18:34
Nếu xy=0 thì suy ra yx=0 (dễ CM). vậy xy=yx(=0)
Xin lỗi, nhưng Ham_Toan viết cụ thể hơn được không?
#18
Đã gửi 27-05-2005 - 22:33
Điều này là wá hiển nhiên nhỉ ! Cách Cm này, theo mình là 1 cách CM khá hay, mình tìm ra khá tình cờ (nếu ko muốn nói là "rùa") hì..hì..
#19
Đã gửi 27-05-2005 - 23:50
Neu ban bat dau buoc vao hoc Algebra ma cu the la Group Theory, toi recommend ban doc cuon cua Herstein: Topics in Algebra. Toi tin la cac thay o VN day ve Algebra deu co cuon nay.
Anh là hòn ngọc sáng trong...
#20
Đã gửi 01-06-2005 - 23:34
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh