Chủ đề này có 4 trả lời

[slbadguy]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
S=$ \dfrac{100-x_1}{100}+\dfrac{x_1-x_2}{x_1}+...+\dfrac{x_{n-1}-x_n}{x_{n-1}}$
với $ x_1,x_2,...,x_n \in N$ và $ 100 \geq x_1 \geq ... \geq x_n>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slbadguy: 10-01-2008 - 19:49

[vd_tan]

Post lời giải đi bạn

[Songohan]

Biết làm là chết liền bạn ơi, dạng bất đẳng thức trên tập rời rạc thế này khó giải lắm.
Cái này thực chất là bắt nguồn từ câu hỏi: một người tham dự chương trình ĐẤU TRƯỜNG 100 có thể nhận nhiều nhất là bao nhiêu tiền và phải chơi như thế nào?
Cái tổng chính là số tiền.

[y chi]

Theo tôi vấn đề là tìm n.
Ta có $\dfrac{x_i-x_j}{x_i} \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{x_{j+k}}$ TRong đó: $x_i=x_j+n$
THứ hai: $x_1=100 $thì khi đó $x_2 $tương tự $x_1$. Nên$ x_1=99$
Vậy max=$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{100}$

[hoàngminh]

uhm, bài viết này là bài viết đầu tiên cho ddth nè.


Cách giải của mình cho bài trên như sau:
Các bạn để ý rằng điều kiện 100 $x_1$ $x_2 $ ... $x_n$ > 0 không khác gì điều kiện $100 > x_1 > x_2 > ... > x_n > 0$ nên ta thay điều kiện ban đầu thành điều kiện $100 > x_1 > x_2 > ... > x_n > 0$.
Ta chọn 1 bộ số tự nhiên bất kì $(x_1, x_2, x_3,..., x_n)$ thỏa mãn $100 > x_1 > x_2 > ... > x_n > 0$
Coi $100$ là $x_0$ và $0$ là $x_{n+1}$.
Nếu tồn tại 1 số tự nhiên k thỏa mãn $x_i > k > x_{i+1}$ ( i = 0,1,2,...,n )
Ta có $S=n - (\dfrac {x_1}{x_0} +\dfrac{ x_2}{x_1} + ... + \dfrac{x_i}{x_{i-1}} + \dfrac{x_{i+1}}{x_i} + \dfrac{x_{i+2}}{x_{i+1}} + ... + \dfrac{x_n}{x_{n-1}}$ )
$S' = (n+1)$ $-$ ( $\dfrac{x_1}{x_0} + \dfrac{x_2}{x_1} + ... + \dfrac{x_i}{x_{i-1}} + \dfrac{k}{x_i} + \dfrac{x_{i+1}}{k}+\dfrac{x_{i+2}}{x_{i+1}} +... + \dfrac{x_n}{x_{n-1}}$ )
Ta có $S' - S $=$ \dfrac{ x_{i+1}}{x_i} - \dfrac{x_{i+1}}{k} - \dfrac{k}{x_i} +1 =\dfrac{(x_i - k )( k - x_{i+1})}{k . x_i} $ $> 0$
Chèn k vào giữa x_i và x_{i+1} và được bộ số mới làm cho tổng S đạt giá trị lớn hơn.
Tương tự đến khi không còn số tự nhiên k nào thỏa mãn điều kiện trên thì tổng S đạt giá trị lớn nhất.
Điều trên có nghĩa tổng S có giá trị lớn nhất là $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{ 100} $và bộ số của chúng ta là ( $ 99, 98, ..., 1 $)

Lưu ý:
Trên đây chỉ là mình viết ra suy nghĩ nên rất lộn xộn, ko phải là 1 lời giải đầy đủ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 23-04-2009 - 17:32