Nếu R (không cần giao hoán và có đơn vị) là vành Artin thì vành các ma trận vuông cấp n trên R cũng Artin. Pác nào chỉ em cách chứng minh với!
Vành Artin!
Bắt đầu bởi kidkg, 15-01-2008 - 17:32
#1
Đã gửi 15-01-2008 - 17:32
#2
Đã gửi 19-01-2008 - 15:33
Học tương đương Morita chưa?
PhDvn.org
#3
Đã gửi 20-01-2008 - 15:26
Học tương đương Morita chưa?
Em chưa học. Em chỉ mới đọc Introduction to commutative algebra của Atiyah & Macdonald va Noncommutative rings của Herstein thôi. Tương đương Morita là gì? Em có thể tìm hiểu vấn đề này ở đâu? Mà anh Kakalotta giới thiệu cuốn nào hay hay về ma trận tổng quát, em chẳng có cuốn nào!
#4
Đã gửi 31-01-2008 - 17:31
Đinh lý: Vành R là Artin phải khi và chỉ khi vành ma trận vuông cấp n trên R là Artin phải.
Chứng minh:
Đặt R_n =M_n®={tập tất cả các ma trận vuông cấp n}.
Cho R_n Artin ta chứng minh R Artin. Xét dãy các ideal phải lồng nhau: B_1 chứa B_2 chứa B_3,.... Ta chứng minh dãy dừng.
Lập dãy các ideal phải của R_n như sau:
R_1 ={Các ma trận dòng thứ nhất có các phần tử thuộc B_1, các dòng khác bằng 0}, tương tự cho R_2, ... Vì R_n Artin nên dãy R_1 chứa R_2, ... dừng. Do đó R Artin phải.
Cho R Artin phải ta chứng minh R_n Artin phải. Đặt R_0 ={ma trận có đường chéo chính bằng nhau và bằng r thuộc R, các phằn tử còn lại bằng 0}. Ta có R_0 là Artin phải (đẳng cấu với R_0). Đặt R_ik ={các ma trận dòng i cột k lấy trong R, các phần tử còn lại bằng 0}. R_ik là R_0 môđun hữu hạn sinh nên R_0 Artin môđun. Mà R_n = {tổng các R_ik}= {tổng hữu hạn các R_o môđun Artin}. Do đó R_n Artin phải.
Chứng minh:
Đặt R_n =M_n®={tập tất cả các ma trận vuông cấp n}.
Cho R_n Artin ta chứng minh R Artin. Xét dãy các ideal phải lồng nhau: B_1 chứa B_2 chứa B_3,.... Ta chứng minh dãy dừng.
Lập dãy các ideal phải của R_n như sau:
R_1 ={Các ma trận dòng thứ nhất có các phần tử thuộc B_1, các dòng khác bằng 0}, tương tự cho R_2, ... Vì R_n Artin nên dãy R_1 chứa R_2, ... dừng. Do đó R Artin phải.
Cho R Artin phải ta chứng minh R_n Artin phải. Đặt R_0 ={ma trận có đường chéo chính bằng nhau và bằng r thuộc R, các phằn tử còn lại bằng 0}. Ta có R_0 là Artin phải (đẳng cấu với R_0). Đặt R_ik ={các ma trận dòng i cột k lấy trong R, các phần tử còn lại bằng 0}. R_ik là R_0 môđun hữu hạn sinh nên R_0 Artin môđun. Mà R_n = {tổng các R_ik}= {tổng hữu hạn các R_o môđun Artin}. Do đó R_n Artin phải.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh