Chủ đề này có 1 trả lời

[Minh Trang]

a,b,c>0 Chung minh
$3*\sqrt[9]{\dfrac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{6bc}{(a+b)(a+b+c)}}\leq4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 02-04-2012 - 00:28

[Tham Lang]

Giải :
Bài này có vẻ rất đáng sợ nhưng khi nhìn sâu bản chất bên trong, ta thấy nó cũng chỉ là một dạng khá hay sử dụng $AM-GM$
Ta có
$$3\sqrt[9]{\dfrac{9a(a + b)}{2(a + b + c)^2}} + \sqrt[3]{\dfrac{6bc}{(a + b)(a + b + c}} \le \sqrt[3]{\dfrac{9a(a + b)}{2(a + b + c)^2}} + 1 + 1 + \sqrt[3]{\dfrac{6bc}{(a + b)(a + b + c)}}$$
Lại có :
$$\sqrt[3]{\dfrac{9a(a + b)}{2(a + b + c)^2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{4a.3(a + b).3(a + b)}{(a + b)(a + b + c)(a + b + c}} \le \dfrac{1}{6}\left (\dfrac{4a}{a + b} + \dfrac{3(a + b)}{a + b + c} + \dfrac{3(a + b)}{a + b + c}\right )$$
Và :
$$\sqrt[3]{\dfrac{6bc}{(a + b)(a + b + c)}} = \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{4b.6c.2}{(a + b)(a + b + c)}} \le \dfrac{1}{6}\left (\dfrac{4b}{a + b} + \dfrac{6c}{a + b + c} + 2\right )$$
Nên suy ra :
$$3\sqrt[9]{\dfrac{9a(a + b)}{2(a + b + c)^2}} + \sqrt[3]{\dfrac{6bc}{(a + b)(a + b + c)}} \le 2 + \dfrac{1}{6}\left (\dfrac{4a + 4b}{a + b} + \dfrac{6(a + b + c)}{a + b + c} + 2 \right) = 4$$
Bất đẳng thức đã được chứng minh hoàn toàn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 02-04-2012 - 08:17