x^4 - (m+1)x^2 + 2m + 1 = 0 (1)
định m để phương trình có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng
+/Đặt $ t=x^2 (t\geq0) $
$ (1) \Leftrightarrow t^2-(m+1)t+2m+1=0(2)$
+/Để pt (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt(2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt:
$ \Leftrightarrow \left{\begin{delta >0}\\{S>0}\\{P>0}$
$ \Leftrightarrow \left{\begin{m^2-6m-3>0}\\{m+1>0}\\{2m+1>0}$
$ \Leftrightarrow \left{\begin{3-2\sqrt{3}<m<3+2\sqrt{3}}\\{m>-1}\\{m>-\dfrac{1}{2}$$ \Leftrightarrow 3-2\sqrt{3}<m<3+2\sqrt{3}$
+/Gọi 2 nghiệm pt(2) là $ t_1;t_2$ và giả sử $ t_1>t_2$
+/Khi đó các nghiệm của pt(1) lần lượt từ bé đến lớn là $ -sqrt{t_2} ; \sqrt{t_1} ; \sqrt{t_1} ; \sqrt{t_2} $. Để các nghiệm này lập thành cấp số cộng thì:
$\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}=\sqrt{t_1}-(-\sqrt{t_1)$
hay $ t_2=9t_1$.
+/Lại theo định lí Viet thì:
$\left{\begin{t_1+t_2=m+1}\\{t_1t_2=2m+1}\\{t_2=9t_1}$
+/ Biến đổi hệ ta được:
$ \dfrac{(m+1)^2}{100}=\dfrac{2m+1}{9}$
$ \Leftrightarrow 9m^2-182m-91=0$
$ \Leftrightarrow \left{\begin{m_1=\dfrac{91-10\sqrt{91}}{9}\\{m_2=\dfrac{91+10\sqrt{91}}{9}}$
+/Cả 2 nghiệm đều ko thỏa mãn, vậy ko có m.