Chủ đề này có 12 trả lời

[vo thanh van]

Cho dãy số thực $(x_n)$ được xác định như sau:
$x_1=0,x_2=2$ và $x_{n+2}=2^{-x_n}+\dfrac{1}{2}$ với mọi $n=1,2,3...$
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi $n \leftrightarrow +\infty $.Hãy tìm giới hạn đó

[tanpham90]

Các bạn làm thế nào ? Minh đi chứng minh 4 day con $x_{4k-2};x_{4k-1};x_{4k};x_{4k+1}$ hội tụ nhưng cách làm kha la dai tuy rằng không phức tạp

[doductai]

mình cũng làm giống bạn,không biết tình hình ở TPHCM và các nơi khác thế nào nhỉ?

[TamTam]

Bài này có thể dùng nguyên lý ánh xạ co cho dãy chẵn và dãy lẻ, ngắn gọn hơn

[tanlsth]

Cái này dùng Lagrange chính là cái ánh xạ co em TamTam nói ở trên rất ngắn, chỉ là dãy chẳn và lẻ.Bài này ok.

[dtdong91]

Đúng vậy bài này có thể dùng Lagrange cho dãy chẵn và lẻ , rất nhanh
có n/xét $ \dfrac{1}{2} \le x_n \le \dfrac{3}{2}$
Xét $ f(x)=2^{-x}+\dfrac{1}{2}$
Có $ f'(x)=-2^{-x}ln2$
=>$ |f'(x)|=2^{-x}ln2 < ln2$

[t_toan]

Bài 4: Mình làm thế này, cũng tương đối giống như các bạn...

Dễ dàng chứng minh rằng $0<x_n<\dfrac{3}{2}$ bằng cách áp dụng tính nghịch biến của hàm số $f(x)=2^{-x}+\dfrac{1}{2}$.

Sau đó bằng quy nạp ta sẽ chứng minh nhận định sau:

Với mọi $n>0$ ta có ta luôn có $x_{4n}<1$, $x_{4n+1}<1$ và $x_{4n+2}>1$, $x_{4n+3}>1$.

Sau đó ta sẽ chứng minh rằng từng dãy con sẽ là dãy số đơn điệu... (Cái này post sau nhé!). Sau đó suy ra giới hạn của các dãy $x_{4n}, x_{4n+1}, x_{4n+2}>1, x_{4n+3}$ là $1$. Theo định lý giới hạn về dãy con ta suy ra $limx_n=1$...!!?

[t_toan]

Đúng vậy bài này có thể dùng Lagrange cho dãy chẵn và lẻ , rất nhanh
có n/xét $ \dfrac{1}{2} \le x_n \le \dfrac{3}{2}$
Xét $ f(x)=2^{-x}+\dfrac{1}{2}$
Có $ f'(x)=-2^{-x}ln2$
=>$ |f'(x)|=2^{-x}ln2 < ln2$

Bạn ơi. Hình như đạo hàm của hàm số $f(x)$ bạn tính sai rồi thì phải. $f'(x)=2^{-x}.ln\dfrac{1}{2}$ mà bạn? Vậy ta mới có $f(x)$ là hàm số nghịch biến trên $R $ chứ. Bạn xem thứ lại xem mình nói thế có đúng không nhá...!

[asdthutrang]

Cách làm thế đúng rồi mà.
T Toan tính đạo hàm sai rồi.Chắc em này học lớp 11 à.
Cứ Lagrang là ok.

[zaizai]

Dạng này có thể giải tổng quát như sau:

Cho hàm số $f(x) $xác định và có đạo hàm trên miền xác định $D$ thoả mãn điền kiện $|f'(x)|\le c<1 $$(c=const)$ và phương trình $f(x)=x$ có nghiệm duy nhất $\alpha \in D$ khi đó dãy số $(x_n) (n=0,1,2...)$ xác định bởi $x_0\in D$ và $x_{n+1}=f(x_n)$ có giới hạn là $\alpha $ khi $n\to +\infty $.

Chứng minh khá là đơn giản:
Giả sử rằng: $|f'(x)|\le c<1 $ thì theo Lagrende, với mỗi n đủ lớn $\exists c_n\in [x_n,\alpha]$ sao cho $f(x_n)-f(\alpha)=(x_n-\alpha)f'(c_n)$ Từ đó suy ra:

$|x_{n+1}-\alpha|=|x_n-\alpha||f'(c_n)|\le |x_n-\alpha|c$

Dùng truy hồi và qui nạp ta có:

$0<|x_n-\alpha|\le |x_n-\alpha|c\le...\le |x_0-\alpha|c^n$

Lại có:

$\lim_{n\to +\infty}c^n=0\to \lim_{n\to +\infty}x_n=\alpha$

Để chứng minh $f(x)=x$ có nghiệm duy nhất $\alpha \in D$ ta chỉ cần xét hàm số $g(x)=f(x)-x$. Hàm này có đạo hàm bậc nhất nhỏ hơn $0$ suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zaizai: 29-01-2008 - 23:56

[1001001]

$D$ phải liên thông hay ít nhất là đóng.

[chuyentoan]

$D$ phải liên thông hay ít nhất là đóng.

Nói chung với các bạn cấp III thì tính chất đóng, liên thông của tập hợp không đc chú ý lắm. Vì những cái đó chưa được học kỹ càng và tập D trong các bài toán thi QG thông thường vẫn thỏa mãn những tính chất đó. Nói chung, ý tưởng hàm co là đúng rồi

[ThanhdatCHV1417]

Bây h e mới làm dùng 4 dãy con như trên cúng đúng chứ ạ!