
Câu 4 VMO 2008
#1
Đã gửi 29-01-2008 - 12:37
$x_1=0,x_2=2$ và $x_{n+2}=2^{-x_n}+\dfrac{1}{2}$ với mọi $n=1,2,3...$
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi $n \leftrightarrow +\infty $.Hãy tìm giới hạn đó
#2
Đã gửi 29-01-2008 - 13:57
#3
Đã gửi 29-01-2008 - 14:50
#4
Đã gửi 29-01-2008 - 15:17
#5
Đã gửi 29-01-2008 - 15:22
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#6
Đã gửi 29-01-2008 - 15:39
có n/xét $ \dfrac{1}{2} \le x_n \le \dfrac{3}{2}$
Xét $ f(x)=2^{-x}+\dfrac{1}{2}$
Có $ f'(x)=-2^{-x}ln2$
=>$ |f'(x)|=2^{-x}ln2 < ln2$
SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN
#7
Đã gửi 29-01-2008 - 16:57
Dễ dàng chứng minh rằng $0<x_n<\dfrac{3}{2}$ bằng cách áp dụng tính nghịch biến của hàm số $f(x)=2^{-x}+\dfrac{1}{2}$.
Sau đó bằng quy nạp ta sẽ chứng minh nhận định sau:
Với mọi $n>0$ ta có ta luôn có $x_{4n}<1$, $x_{4n+1}<1$ và $x_{4n+2}>1$, $x_{4n+3}>1$.
Sau đó ta sẽ chứng minh rằng từng dãy con sẽ là dãy số đơn điệu... (Cái này post sau nhé!). Sau đó suy ra giới hạn của các dãy $x_{4n}, x_{4n+1}, x_{4n+2}>1, x_{4n+3}$ là $1$. Theo định lý giới hạn về dãy con ta suy ra $limx_n=1$...!!?
#8
Đã gửi 29-01-2008 - 17:08
Bạn ơi. Hình như đạo hàm của hàm số $f(x)$ bạn tính sai rồi thì phải. $f'(x)=2^{-x}.ln\dfrac{1}{2}$ mà bạn? Vậy ta mới có $f(x)$ là hàm số nghịch biến trên $R $ chứ. Bạn xem thứ lại xem mình nói thế có đúng không nhá...!Đúng vậy bài này có thể dùng Lagrange cho dãy chẵn và lẻ , rất nhanh
có n/xét $ \dfrac{1}{2} \le x_n \le \dfrac{3}{2}$
Xét $ f(x)=2^{-x}+\dfrac{1}{2}$
Có $ f'(x)=-2^{-x}ln2$
=>$ |f'(x)|=2^{-x}ln2 < ln2$
#9
Đã gửi 29-01-2008 - 18:32
T Toan tính đạo hàm sai rồi.Chắc em này học lớp 11 à.
Cứ Lagrang là ok.
YÊU NHƯ THẾ NGƯỜI TA MỚI GỌI LÀ YÊU
MYT
#10
Đã gửi 29-01-2008 - 23:55
Cho hàm số $f(x) $xác định và có đạo hàm trên miền xác định $D$ thoả mãn điền kiện $|f'(x)|\le c<1 $$(c=const)$ và phương trình $f(x)=x$ có nghiệm duy nhất $\alpha \in D$ khi đó dãy số $(x_n) (n=0,1,2...)$ xác định bởi $x_0\in D$ và $x_{n+1}=f(x_n)$ có giới hạn là $\alpha $ khi $n\to +\infty $.
Chứng minh khá là đơn giản:
Giả sử rằng: $|f'(x)|\le c<1 $ thì theo Lagrende, với mỗi n đủ lớn $\exists c_n\in [x_n,\alpha]$ sao cho $f(x_n)-f(\alpha)=(x_n-\alpha)f'(c_n)$ Từ đó suy ra:
$|x_{n+1}-\alpha|=|x_n-\alpha||f'(c_n)|\le |x_n-\alpha|c$
Dùng truy hồi và qui nạp ta có:$0<|x_n-\alpha|\le |x_n-\alpha|c\le...\le |x_0-\alpha|c^n$
Lại có:$\lim_{n\to +\infty}c^n=0\to \lim_{n\to +\infty}x_n=\alpha$
Để chứng minh $f(x)=x$ có nghiệm duy nhất $\alpha \in D$ ta chỉ cần xét hàm số $g(x)=f(x)-x$. Hàm này có đạo hàm bậc nhất nhỏ hơn $0$ suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zaizai: 29-01-2008 - 23:56
- Pham Dac Thanh 1998 yêu thích
#11
Đã gửi 30-01-2008 - 05:14
#12
Đã gửi 30-01-2008 - 12:19
$D$ phải liên thông hay ít nhất là đóng.
Nói chung với các bạn cấp III thì tính chất đóng, liên thông của tập hợp không đc chú ý lắm. Vì những cái đó chưa được học kỹ càng và tập D trong các bài toán thi QG thông thường vẫn thỏa mãn những tính chất đó. Nói chung, ý tưởng hàm co là đúng rồi
#13
Đã gửi 14-04-2015 - 22:40

0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh