Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Câu 6 VMO 2008


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 29 trả lời

#1 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 29-01-2008 - 12:39

Cho x,y,z là các số thực không âm ,đôi một khác nhau.Chứng minh rằng
$(xy+yz+zx)(\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2})\geq 4$
Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?
Quy ẩn giang hồ

#2 tanpham90

tanpham90

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Ho Chi Minh
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 29-01-2008 - 12:50

Cho $x,y,z$ la cac so khong am khac nhau doi mot , tim hang so k tot nhat cua bat dang thuc :
$(xy+yz+zx)[ \dfrac{1}{(x-y)^{2}}+ \dfrac{1}{(y-z)^{2}}+ \dfrac{1}{(z-x)^{2}} ] \geq\ k$

Dat : $f(x,y,z)=(xy+yz+zx)[ \dfrac{1}{(x-y)^{2}}+ \dfrac{1}{(y-z)^{2}}+ \dfrac{1}{(z-x)^{2}} ]$

Ta chung minh : $f(x,y,z) \geq\ f(x-z,y-z,0)$

That vay , khong mat tinh tong quat gia su $z=min(x,y,z)$ ta co :

$f(x,y,z)-f(x-z,y-z,0)= \dfrac{(2x+2y-z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)^{2}z}{((x-y)(y-z)(z-x))^{2}} \geq\ 0$

Vay ta chi can chung minh bat dang thuc trong truong hop $z=0$ Dat $y=ax$ $a>0$ va $a$ khac $1$ !

Ta co :

$f(x,ax,0)= \dfrac{a^{4}-2a^{3}+3a^{2}-2a+1}{a(a-1)^{2}}=g(a)$

Cách 1 : biến đổi tưong đương chứng minh $g(a) \geq\ 4$ tươnng đương với $(a+\dfrac{1}{a}-3)^{2} \geq\ 0$ Hiển nhiên đúng !

Cách 2 :

$g'(a)= \dfrac{a^{5}-3a^{4}+a^{3}+a^{2}-3a+1}{a^{2}(a-1)^{3}}= \dfrac{(a+1)(a^{2}-3a+1)(a^{2}-a+1)}{a^{2}(a-1)^{3}}$

Tu do ta tim duoc gia tri nho nhat cua $g(a)$ la $4$ va dat duoc tai 2 diem la $a= \dfrac{3- \sqrt{5}}{2}$ va $a= \dfrac{3+ \sqrt{5}}{2}$ vay hang so tot nhat can tim la $k=4$ va dau bang xay ra tai hai diem la $([\dfrac{3- \sqrt{5}}{2}]x,x,0)$ va $([\dfrac{3+ \sqrt{5}}{2}]x,x,0)$
Chuyên toán ----- ĐHSP-TPHCM ----- 05-08

#3 t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT TP Cao Lanh
  • Sở thích:Tổng quát hóa những bài toán có thể

Đã gửi 29-01-2008 - 13:35

Đặt $VT=f(x,,y,z)$

Giả sử $z=min{x,y,z} :D$

Ta có $xy+yz+zx=xy+z(x+y) \geq xy$

Và $\dfrac{1}{(y-z)^2} \geq \dfrac{1}{y^2}$

$\Leftrightarrow 2z(y-z) \geq 0$ Đúng theo $:pi$

$\dfrac{1}{(z-x)^2} \geq \dfrac{1}{x^2}$

$\Leftrightarrow 2z(x-z) \geq 0$ Đúng theo $:D$

Từ đây ta suy ra:

$f(x,y,z) \geq f(x,y,0)=xy[\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}]$

Vậy ta sẽ chứng minh rằng:

$\dfrac{xy}{(x-y)^2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 4$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 4$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2 \geq 2$

Vì $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2>0$ theo BĐT Cauchy và $x \neq y$.

Từ đó suy ra đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi:

$z=0$

$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#4 ketcuong

ketcuong

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Sở thích:Bóng đá

Đã gửi 29-01-2008 - 13:39

Chết thật mình làm nhầm rồi sao lại ra (1+sqrt(5))/2 chu

#5 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng <br>đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 29-01-2008 - 15:23

Tiếc là bài này hồi trước mình post lên forum 1 lần rồi nói chung cũng dễ :D nhưng sau đó nó bị hack vào thùng rác :pi chắc là hacker là người của bộ giáo dục cũng nên :D

http://diendantoanho....php?...A3i mới

Một lời giải của anh Nesbit chỉ 1 dòng :D:
Giả sử c nhỏ nhất rồi dùng AM-GM anh có
$VT=\dfrac{1}{ (a-b)^2}+\dfrac{(a-b)^2}{(b-c)^2(a-c)^2} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{2}{(a-c)(b-c)} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{4}{ab+bc+ca}$

#6 tqnst

tqnst

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:D9-K52 Ha Noi University of Technology
  • Sở thích:Football,Tennis,games and Programming

Đã gửi 29-01-2008 - 16:11

Bài này giống hệt bài có trong bài viết về "Phương pháp dồn biến" của bạn Phan Thành Việt ,cũng đã có trên diễn đàn nhưng bây giờ hình như bị hack mất rồi

Trái tim anh, em Select bằng Mouse
Chốn hẹn hò: Forum - Internet
Lời yêu thương truyền bằng phương thức Get
Nhận dáng hình qua địa chỉ IP

Nếu một mai em vĩnh viễn ra đi
Anh sẽ chết giữa muôn ngàn biển Search
Lời tỏ tình không dễ gì Convert
Lưu ngàn đời vào biến Constant

Anh nghèo khó mang dòng máu Sun
Em quyền quý với họ Microsoft
Hai dòng Code không thể nào hoà hợp
Dẫu ngàn lần Debug em ơi

Sao không có một thế giới xa xôi
Linux cũng thế mà Windows cũng thế
Hai chúng ta chẳng thể nào chia rẽ
Run suốt đời trên mọi Platform.


#7 t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT TP Cao Lanh
  • Sở thích:Tổng quát hóa những bài toán có thể

Đã gửi 29-01-2008 - 17:16

Chết thật mình làm nhầm rồi sao lại ra (1+sqrt(5))/2 chu


Hi, bạn cũng sai giống mình sao? Mình tính nhằm $\Delta = (-3)^2 -4.1=5$ mà mình viết là: $\Delta = (-3)^2 -1=8$.
Mình ra kết quả là $\dfrac{x}{y}=\dfrac{3 \pm 2\sqrt{2}}{2}$ mới chết chứ. Phen này tiêu rồi.... (^|^)

Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#8 pvthuan

pvthuan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết

Đã gửi 29-01-2008 - 18:16

Hi, bạn cũng sai giống mình sao? Mình tính nhằm $\Delta = (-3)^2 -4.1=5$ mà mình viết là: $\Delta = (-3)^2 -1=8$.
Mình ra kết quả là $\dfrac{x}{y}=\dfrac{3 \pm 2\sqrt{2}}{2}$ mới chết chứ. Phen này tiêu rồi.... (^|^)

Đây cũng là bài toán 6.27 (trang 248) trong cuốn sách Bất Đẳng Thức, Suy luận & Khám phá, NXB ĐHQGHN.

#9 tanpham90

tanpham90

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Ho Chi Minh
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 29-01-2008 - 18:20

Trùng hợp thật , không ngờ là lại có trong sách của thầy :pi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanpham90: 29-01-2008 - 18:20

Chuyên toán ----- ĐHSP-TPHCM ----- 05-08

#10 FOOL90

FOOL90

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 628 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại Học FPT
  • Sở thích:Everything interest me:)

Đã gửi 29-01-2008 - 19:07

Và dĩ nhiên là cũng có trong tài liệu của người ra đề năm nay .
Take it easy

#11 pvthuan

pvthuan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết

Đã gửi 29-01-2008 - 19:49

Và dĩ nhiên là cũng có trong tài liệu của người ra đề năm nay .


Cái này cũng đoán được vì các tác giả có tặng sách cho một số người (quan trọng) từ tháng 8 năm 2007.

#12 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-01-2008 - 21:15

:pi nhưng sau đó nó bị hack vào thùng rác :D chắc là hacker là người của bộ giáo dục cũng nên :D

Đồng ý với chú câu này :D (nhưng nói nhỏ thôi, oang oang ra thế này thì...)
Đề năm nay có bài BDT nhìn là thích làm rồi :D

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#13 Bùi Việt Anh

Bùi Việt Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-01-2008 - 21:17

Bài này trở nên quen thuộc từ 2 năm trước rồi. Ra đề kiểu này thì thiệt thòi những người ko học trên mạng quá. Thiết nghĩ, đề quốc gia nên do các thầy tự sáng tạo ra để đảm bảo tính công bằng cho học sinh.

#14 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng <br>đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 30-01-2008 - 00:20

Em thì thấy bài này lại là bài cho điểm vì nhìn vào thấy ngay chỉ là bài 2 biến. :pi Còn nhìn chung thì có một số bài cũng ko mới quá... dù có một số bài thì nhìn đã ko muốn làm :D

#15 Bùi Việt Anh

Bùi Việt Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-01-2008 - 11:13

Chính xác thì là bài 1 biến( cho 1 biến bằng 0, 1 biến chuẩn hoá) :D .Thường thì bài 3, 6 là những bài khó nhưng năm nay lại là bài gỡ điểm. Mất hết cả truyền thống.

#16 tanpham90

tanpham90

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Ho Chi Minh
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 30-01-2008 - 11:20

Chính xác thì là bài 1 biến( cho 1 biến bằng 0, 1 biến chuẩn hoá) :D .Thường thì bài 3, 6 là những bài khó nhưng năm nay lại là bài gỡ điểm. Mất hết cả truyền thống.

:D thế à , sao anh không nói sớm :D
Chuyên toán ----- ĐHSP-TPHCM ----- 05-08

#17 titikid91yb

titikid91yb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên Yên Bái
  • Sở thích:ồ là lá..mình thích làm toán nhất là hình học và bđt và yêu thích câu lạc bộ ARSENALhttp://i108.photobucket.com/albums/n9/PDatK40SP/hamtChienthangcuaDT9.jpg%5b/IMG%5d

Đã gửi 30-01-2008 - 16:26

sao ko ai nghĩ là dùng qua iran 96 nhỉ?
Hình đã gửi
Trời đã cho ta một trí thông minh tuyệt vời...
Mới 3 tuổi đã biết cười,biết nói...
Lên lớp 5 đã thuộc làu bảng chữ cái,chữ số...
Vừa vào cấp 3 đã làm cả trường chuyên kinh ngạc khi đã thành thạo tất cả các phép toán cộng,trừ,nhân,chia...
Tương lai đang chờ đón ta...
Nguyễn Duy Cương,toánTK17 chuyên nguyễn tất thành,yên bái

#18 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 30-01-2008 - 17:34

Tiếc là bài này hồi trước mình post lên forum 1 lần rồi nói chung cũng dễ :D nhưng sau đó nó bị hack vào thùng rác :D chắc là hacker là người của bộ giáo dục cũng nên :D

http://diendantoanho....php?...A3i mới

Một lời giải của anh Nesbit chỉ 1 dòng :D:
Giả sử c nhỏ nhất rồi dùng AM-GM anh có
$VT=\dfrac{1}{ (a-b)^2}+\dfrac{(a-b)^2}{(b-c)^2(a-c)^2} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{2}{(a-c)(b-c)} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{4}{ab+bc+ca}$

hehe,thế mà cái bài của ku zaizai Văn cứ nhìn qua tưởng là giống với bài của anh Đào Hải Long nên không đọc nữa,không ngờ là bài thi QG và lời giải của anh Khuê lại đơn giản đến thế
Quy ẩn giang hồ

#19 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng <br>đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 30-01-2008 - 23:31

Lời giải đơn giản nhưng khó nghĩ ra :D Cái này thì cần đẳng cấp nhiều hơn còn bài trên nhìn vào là biết ngay có 1 thằng bằng 0 còn lại thì thích làm gì thì làm... cả vài cách chứ chả ít :D

http://www.mathlinks...ic.php?t=168974

Bài chặt hơn ở đây. Nói chung là bài nào cũng dễ cả :D

#20 tanpham90

tanpham90

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Ho Chi Minh
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 30-01-2008 - 23:51

Không phải chặt hơn mà là khó hơn và là một bài hoàn toàn khác ( đẳng thức 2 thằng khác nhau nên không gọi là chặt hơn được :D )
Chuyên toán ----- ĐHSP-TPHCM ----- 05-08




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh