Câu 6 VMO 2008
#1
Đã gửi 29-01-2008 - 12:39
$(xy+yz+zx)(\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2})\geq 4$
Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?
#2
Đã gửi 29-01-2008 - 12:50
$(xy+yz+zx)[ \dfrac{1}{(x-y)^{2}}+ \dfrac{1}{(y-z)^{2}}+ \dfrac{1}{(z-x)^{2}} ] \geq\ k$
Dat : $f(x,y,z)=(xy+yz+zx)[ \dfrac{1}{(x-y)^{2}}+ \dfrac{1}{(y-z)^{2}}+ \dfrac{1}{(z-x)^{2}} ]$
Ta chung minh : $f(x,y,z) \geq\ f(x-z,y-z,0)$
That vay , khong mat tinh tong quat gia su $z=min(x,y,z)$ ta co :
$f(x,y,z)-f(x-z,y-z,0)= \dfrac{(2x+2y-z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)^{2}z}{((x-y)(y-z)(z-x))^{2}} \geq\ 0$
Vay ta chi can chung minh bat dang thuc trong truong hop $z=0$ Dat $y=ax$ $a>0$ va $a$ khac $1$ !
Ta co :
$f(x,ax,0)= \dfrac{a^{4}-2a^{3}+3a^{2}-2a+1}{a(a-1)^{2}}=g(a)$
Cách 1 : biến đổi tưong đương chứng minh $g(a) \geq\ 4$ tươnng đương với $(a+\dfrac{1}{a}-3)^{2} \geq\ 0$ Hiển nhiên đúng !
Cách 2 :
$g'(a)= \dfrac{a^{5}-3a^{4}+a^{3}+a^{2}-3a+1}{a^{2}(a-1)^{3}}= \dfrac{(a+1)(a^{2}-3a+1)(a^{2}-a+1)}{a^{2}(a-1)^{3}}$
Tu do ta tim duoc gia tri nho nhat cua $g(a)$ la $4$ va dat duoc tai 2 diem la $a= \dfrac{3- \sqrt{5}}{2}$ va $a= \dfrac{3+ \sqrt{5}}{2}$ vay hang so tot nhat can tim la $k=4$ va dau bang xay ra tai hai diem la $([\dfrac{3- \sqrt{5}}{2}]x,x,0)$ va $([\dfrac{3+ \sqrt{5}}{2}]x,x,0)$
- Nguyễn Hưng yêu thích
#3
Đã gửi 29-01-2008 - 13:35
Giả sử $z=min{x,y,z} $
Ta có $xy+yz+zx=xy+z(x+y) \geq xy$
Và $\dfrac{1}{(y-z)^2} \geq \dfrac{1}{y^2}$
$\Leftrightarrow 2z(y-z) \geq 0$ Đúng theo $$
$\dfrac{1}{(z-x)^2} \geq \dfrac{1}{x^2}$
$\Leftrightarrow 2z(x-z) \geq 0$ Đúng theo $$
Từ đây ta suy ra:
$f(x,y,z) \geq f(x,y,0)=xy[\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}]$
Vậy ta sẽ chứng minh rằng:
$\dfrac{xy}{(x-y)^2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 4$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 4$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2 \geq 2$
Vì $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2>0$ theo BĐT Cauchy và $x \neq y$.
Từ đó suy ra đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi:
$z=0$
$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}.$
#4
Đã gửi 29-01-2008 - 13:39
#5
Đã gửi 29-01-2008 - 15:23
http://diendantoanho....php?...A3i mới
Một lời giải của anh Nesbit chỉ 1 dòng :
Giả sử c nhỏ nhất rồi dùng AM-GM anh có
$VT=\dfrac{1}{ (a-b)^2}+\dfrac{(a-b)^2}{(b-c)^2(a-c)^2} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{2}{(a-c)(b-c)} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{4}{ab+bc+ca}$
#6
Đã gửi 29-01-2008 - 16:11
Trái tim anh, em Select bằng Mouse
Chốn hẹn hò: Forum - Internet
Lời yêu thương truyền bằng phương thức Get
Nhận dáng hình qua địa chỉ IP
Nếu một mai em vĩnh viễn ra đi
Anh sẽ chết giữa muôn ngàn biển Search
Lời tỏ tình không dễ gì Convert
Lưu ngàn đời vào biến Constant
Anh nghèo khó mang dòng máu Sun
Em quyền quý với họ Microsoft
Hai dòng Code không thể nào hoà hợp
Dẫu ngàn lần Debug em ơi
Sao không có một thế giới xa xôi
Linux cũng thế mà Windows cũng thế
Hai chúng ta chẳng thể nào chia rẽ
Run suốt đời trên mọi Platform.
#7
Đã gửi 29-01-2008 - 17:16
Chết thật mình làm nhầm rồi sao lại ra (1+sqrt(5))/2 chu
Hi, bạn cũng sai giống mình sao? Mình tính nhằm $\Delta = (-3)^2 -4.1=5$ mà mình viết là: $\Delta = (-3)^2 -1=8$.
Mình ra kết quả là $\dfrac{x}{y}=\dfrac{3 \pm 2\sqrt{2}}{2}$ mới chết chứ. Phen này tiêu rồi.... (^|^)
#8
Đã gửi 29-01-2008 - 18:16
Đây cũng là bài toán 6.27 (trang 248) trong cuốn sách Bất Đẳng Thức, Suy luận & Khám phá, NXB ĐHQGHN.Hi, bạn cũng sai giống mình sao? Mình tính nhằm $\Delta = (-3)^2 -4.1=5$ mà mình viết là: $\Delta = (-3)^2 -1=8$.
Mình ra kết quả là $\dfrac{x}{y}=\dfrac{3 \pm 2\sqrt{2}}{2}$ mới chết chứ. Phen này tiêu rồi.... (^|^)
#9
Đã gửi 29-01-2008 - 18:20
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanpham90: 29-01-2008 - 18:20
#10
Đã gửi 29-01-2008 - 19:07
#11
Đã gửi 29-01-2008 - 19:49
Và dĩ nhiên là cũng có trong tài liệu của người ra đề năm nay .
Cái này cũng đoán được vì các tác giả có tặng sách cho một số người (quan trọng) từ tháng 8 năm 2007.
#12
Đã gửi 29-01-2008 - 21:15
Đồng ý với chú câu này (nhưng nói nhỏ thôi, oang oang ra thế này thì...)nhưng sau đó nó bị hack vào thùng rác chắc là hacker là người của bộ giáo dục cũng nên
Đề năm nay có bài BDT nhìn là thích làm rồi
#13
Đã gửi 29-01-2008 - 21:17
#14
Đã gửi 30-01-2008 - 00:20
#15
Đã gửi 30-01-2008 - 11:13
#16
Đã gửi 30-01-2008 - 11:20
thế à , sao anh không nói sớmChính xác thì là bài 1 biến( cho 1 biến bằng 0, 1 biến chuẩn hoá) .Thường thì bài 3, 6 là những bài khó nhưng năm nay lại là bài gỡ điểm. Mất hết cả truyền thống.
#17
Đã gửi 30-01-2008 - 16:26
Trời đã cho ta một trí thông minh tuyệt vời...
Mới 3 tuổi đã biết cười,biết nói...
Lên lớp 5 đã thuộc làu bảng chữ cái,chữ số...
Vừa vào cấp 3 đã làm cả trường chuyên kinh ngạc khi đã thành thạo tất cả các phép toán cộng,trừ,nhân,chia...
Tương lai đang chờ đón ta...
Nguyễn Duy Cương,toánTK17 chuyên nguyễn tất thành,yên bái
#18
Đã gửi 30-01-2008 - 17:34
hehe,thế mà cái bài của ku zaizai Văn cứ nhìn qua tưởng là giống với bài của anh Đào Hải Long nên không đọc nữa,không ngờ là bài thi QG và lời giải của anh Khuê lại đơn giản đến thếTiếc là bài này hồi trước mình post lên forum 1 lần rồi nói chung cũng dễ nhưng sau đó nó bị hack vào thùng rác chắc là hacker là người của bộ giáo dục cũng nên
http://diendantoanho....php?...A3i mới
Một lời giải của anh Nesbit chỉ 1 dòng :
Giả sử c nhỏ nhất rồi dùng AM-GM anh có
$VT=\dfrac{1}{ (a-b)^2}+\dfrac{(a-b)^2}{(b-c)^2(a-c)^2} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{2}{(a-c)(b-c)} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{4}{ab+bc+ca}$
#19
Đã gửi 30-01-2008 - 23:31
http://www.mathlinks...ic.php?t=168974
Bài chặt hơn ở đây. Nói chung là bài nào cũng dễ cả
#20
Đã gửi 30-01-2008 - 23:51
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh