Hà Huy Khoái
Có nhiều vấn đề lớn của toán học hiện đại thực ra đã xuất hiện trong những chuyện dân gian. Chẳng hạn, câu chuyện vui về ông chồng tham ăn được bà vợ dùng sợi dây điều khiển, mà hầu như người Việt Nam nào cũng đã từng ít nhất một lần nghe kể, nếu phân tích kĩ sẽ thấy là một bài giảng nhập môn tuyệt vời về Lý thuyết thông tin.
Xưa, một bà vợ có chồng rất tham ăn. Tính tham ăn của anh chồng khiến chị vợ nhiều phen xấu hổ. Chị bèn nghĩ ra một kế. Nhân ngày Tết về bên ngoại ăn cỗ, chị ngồi dưới bếp, buộc một sợi dây vào chân chồng và dặn rằng, khi nào chị giật dây một cái thì mới được gắp một miếng. Hôm đó, mọi người ngạc nhiên vì thấy anh chồng ăn uống rất từ tốn. Nào ngờ, chỉ được chừng nửa bữa thì có một chú gà trống chạy qua, mắc chân vào dây. Anh chồng tham ăn được thể gắp lia lịa (theo nhịp dãy chân của chú gà)! Mẹo hay của chị vợ thế là bị hỏng.
Vấn đề của Lý thuyết thông tin đặt ra trong câu chuyện này là: làm thế nào để mưu kế của chị vợ thành công ngay cả khi không may có chú gà mắc vào dây? Đó chính là một trong những bài toán khó nhất của toán học hiện đại. Ta thử hình dung một hệ thống điển hình của lý thuyết thông tin: trước hết, ta có một trung tâm điều khiển, trong trường hợp này là chị vợ. Sau đó là một trung tâm nhận thông tin, chính là chàng tham ăn. Thông tin được truyền qua một kênh truyền tin, chính là sợi dây. Các thông tin được truyền qua kênh truyền tin bằng các tín hiệu, trong trường hợp này là giật dây. Thông tin luôn được truyền dưới dạng mã hóa, ở đây chị vợ đã mã hóa thông tin như sau: giật một cái - gắp một miếng. Nhưng, một kênh truyền tin, dù hiện đại đến đâu, cũng không thể tuyệt đối chính xác: trung tâm thu nhận thông tin không bao giờ nhận được hoàn toàn chính xác thông tin mà trung tâm điều khiển truyền đi, mà thường bị một nhiễu nào đó. Cái nhiễu mà kênh truyền tin của chị vợ mắc phải chính là con gà tai hại! Vấn đề đặt ra cho chị vợ, cũng như cho lý thuyết thông tin là: làm thế nào để ngay cả khi bị nhiễu, ta vẫn không đi đến kết quả quá tồi tệ? Nói một cách "hàn lâm" là: làm thế nào để tăng độ tin cậy của kênh truyền tin? Nếu như quy định của chị vợ không phải là "giật một cái - gắp một miếng" mà là "giật 20 cái - gắp một miếng" thì dù có cái nhiễu là con gà, anh chồng chắc cũng không đến nỗi mang tiếng là quá tham ăn! Làm như thế, trong lý thuyết thông tin gọi là tăng độ thừa để bảo đảm độ tin cậy. Độ thừa ở đây là: lẽ ra chỉ cần giật dây một lần là đủ truyền lệnh gắp một miếng, thì ra phải giật những 20 lần! Nếu chị vợ quá cẩn thận đến mức qui định: giật 100 lần mới gắp một miếng, thì chắc anh chồng được tiếng rất lịch sự, nhưng cũng sẽ mang bụng đói về nhà. Vấn đề nan giải của lý thuyết thông tin chính là ở chỗ đó: nếu tăng độ thừa để đảm bảo độ tin cậy, thì sẽ bị ảnh hưởng đến tốc độ truyền tin. Trong thực tế, một thông tin chính xác nhưng đến quá muộn có thể là một thông tin vô ích. Vậy, chị vợ nên quy định giật bao nhiêu lần thì anh chồng được gắp một miếng, để sao cho anh ta vừa no bụng, lại vừa được tiếng lịch sự, hay ít nhất là không mang tiếng quá tham ăn, ngay cả khi bị chú gà làm nhiễu kênh truyền tin? Đó chính là bài toán điển hình không chỉ của lý thuyết thông tin, mà của hầu hết các ngành của Toán học hiện đại: nếu xem mỗi yêu cầu lập thành một miền nào đó, thì phải tìm ra đường biên giới phân chia các miền, sao cho mọi yêu cầu đều được thỏa mãn trong một chừng mực chấp nhận được. (Bài toán này chắc không chỉ khó trong toán học, mà cả trong cuộc đời: không thể hy vọng đạt được một cách cao nhất mọi mục tiêu, mà vấn đề là phải làm sao cho hài hòa các mục tiêu đó!)
Để giải bài toán đặt ra, trong những năm gần đây đã xuất hiện nhiều kết quả khá bất ngờ. Một trong những phương pháp mới nhất là dùng các mã hình học đại số vào lý thuyết thông tin. Phương pháp này thực sự bất ngờ vì xưa nay, hình học đại số là ngành trừu tượng nhất trong toán học, và ít ai nghĩ lại có thể dùng nó vào một vấn đề rất thực tiễn. Việc dùng hình học đại số để tìm ra biên giới thích hợp trong lý thuyết thông tin đã góp phần xóa đi biên giới giữa toán học lý thuyết và toán học ứng dụng.
Còn một điều nữa mà tôi chưa nói đến khi kể về hệ thống truyền tin của bà vợ nói trên, đó là vấn đề bảo mật. Nếu có anh chàng nào đó biết được điều giao hẹn của vợ chồng nhà kia, thì anh ta có thể gây nhiễu bằng cách giật dây thật nhanh, sao cho dù bà vợ có tăng độ thừa đến đâu, vẫn không thể dứt bỏ được tiếng xấu tham ăn của chồng mình. Vì thế, trong khi truyền tin, nhất thiết phải đặt ra vấn đề bảo mật. Một lần nữa, toán học hiện đại lại có thể giúp ích cho bà vợ bằng cách cung cấp những phương pháp mã hóa hiện đại. Vấn đề này tôi đã có dịp đề cập đến trong một bài viết gần đây trên tạp chí Tia Sáng.
Kho tàng văn học dân gian vô cùng phong phú. Trên đây chỉ là một trong rất nhiều ví dụ về mối liên hệ giữa văn học dân gian và toán học hiện đại. Ra giêng ngày rộng tháng dài, hy vọng có dịp trở lại đề tài này cùng bạn đọc.
(Theo Tạp chí Tia Sáng)
