Chủ đề này có 1 trả lời

[FOOL90]

N.2
Cho $a,b $nguyên dương, $max(a,b)>1$ .
Chứng minh $\phi (a^n+b^n) \vdots 2n \forall n\in \mathbb{Z}^+$

[phong than]

Ta thấy rằng $a\ne b$. Vì nếu không thì cho $a=b=2$ thì $\phi(a^n+b^n)=\phi(2^{n+1})=2^n$ không chia hết cho $2n$, với mọi $n$.
Đầu tiên, ta sẽ chứng minh khi $n$ là một lũy thừa số nguyên tố lẻ.
Tức là $\phi(a^{p^\alpha}+b^{p^\alpha})$ chia hết cho $p^\alpha$.
Trước hết ta cần chứng minh $\phi(a^p+b^p)$ chia hết cho $p$.
Thật vậy, nếu $a+b$ chia hết cho $p$ thì chẳng còn gì để bàn.
Trường hợp còn lại ta sẽ chứng minh rằng với mọi ước nguyên tố của $a^p+b^p$ và không là ước của $a+b$ (Chú ý $a^p+b^p, a+b$ không thể có cùng ước nguyên tố) đều có dạng $kp+1$. Thật vậy:
Giả sử $q$ là một ước nguyên tố của $a^p+b^p$, nhưng không là ước của $a+b$. Khi đó ta có:
$a^p+b^p\equiv 0 (mod q)$.
Từ đó $(b,q)=1$ vì nếu không thì $a+b$ chia hết cho $q$. Suy ra tồn tại $x$ sao cho:
$bx\equiv -1 (mod q)$. Do đó $(ax)^p\equiv 1 (mod q)$.
Nếu $q-1$ chia hết cho $p$ thì ta có đpcm.
Nếu $(q-1,p)=1$, khi đó từ ta có $ax\equiv 1 (mod q)$.
Suy ra $(a+b)x$ chia hết cho $q$ (Mâu thuẫn với cách chọn $q$).
Vậy $\phi(a^p+b^p)$ chia hết cho $p$.
Bầy giờ ta sẽ chứng minh $\phi(a^{p^\alpha}+b^{p^\alpha})$ chia hết cho $p^\alpha$.
Thật vậy nếu $a+b$ chia hết cho $p$ thì ta dễ dàng chứng minh được.
Nếu $a+b$ không chia hết cho $p$, khi đó chú ý rằng:
$a^{p^\alpha}+b^{p^\alpha}=(a^{p^\alpha-1}+b^{p^\alpha-1}).A$.
Theo chứng minh trên thì tồn tại một ước nguyên tố của $A$ không là ước của $(a^{p^\alpha-1}+b^{p^\alpha-1)$ mà có dạng $kp+1$. Cứ làm tiếp tục như vậy ta có điều phải chứng minh.
Như vậy ta đã chứng minh trên các lũy thừa các số nguyên tố lẻ.
Trường hợp $n$ là một lũy thừa của 2 thì đây là một bổ đề quen thuộc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 10-07-2009 - 10:11