Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f\left (f(x)+\dfrac{a}{f(x)} \right )=x+b, \forall x > 0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh
  • Sở thích:Gái, Gái và Gái.

Đã gửi 15-05-2005 - 16:14

Tìm tất cả các số thực dương $a$ và $b$ sao cho tồn tại hàm số $f$  thỏa mãn:

 $$f\left (f(x)+\dfrac{a}{f(x)}  \right )=x+b, \forall x  > 0$$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-06-2013 - 20:23


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-06-2013 - 16:27

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 01/07 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này

 


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 Mr Stoke

Mr Stoke

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 582 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-07-2013 - 09:27

Tìm tất cả các số thực dương $a$ và $b$ sao cho tồn tại hàm số $f$  thỏa mãn:

 $$f\left (f(x)+\dfrac{a}{f(x)}  \right )=x+b, \forall x  > 0$$

 

Khi đã nói đến hàm số, ta cần biết tập xác định và tập giá trị. Đề bài chưa nói rõ điều đó, vì vậy không ai quân tâm giải cũng phải.


Mr Stoke 


#4 Trungpbc

Trungpbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Toán,conan

Đã gửi 03-11-2013 - 21:43



Khi đã nói đến hàm số, ta cần biết tập xác định và tập giá trị. Đề bài chưa nói rõ điều đó, vì vậy không ai quân tâm giải cũng phải.

Chắc anh Quý sơ suất trong khâu đánh máy thôi thầy ạ. Em nghĩ đề bài này đầy đủ là:

Problem. Xác định các số thực dương $a,b$ sao cho tồn tại hàm số $f:(0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ thỏa mãn: $$f\left ( f(x)+\frac{a}{f(x)} \right )=x+b$$ với mọi số thực dương $x$.

Lời giải.

Điều kiện cần và đủ để tồn tại hàm số như vậy là $b>\sqrt{a}$. Đầu tiên, ta chỉ ra không tồn tại hàm số trong trường hợp $b\leqslant \sqrt{a}$. Thật vậy, phản chứng tồn tại hàm $f$ thỏa mãn điều kiện bài toán. Nhận xét đơn giản rằng nếu $f(x)=f(y)$ hoặc $f(x).f(y)=a$ thì $x=y$.

Giả sử, $x$ là số dương thỏa mãn $f(x)>b$. Khi đó, thế $x$ bởi $f(x)-a$ trong đẳng thức ban đầu ta có: $$f(x)=f\left ( f\left ( f(x)-b \right )+\frac{a}{f\left ( f(x)-b \right )} \right )$$ Sử dụng nhận xét, suy ra: $$x=f\left ( f(x)-b \right )+\frac{a}{f\left ( f(x)-b \right )}\geqslant 2\sqrt{a}$$ Do đó, với mọi $x\in \left ( 0,2\sqrt{a} \right )$ thì $f(x)\leqslant b$ và có không quá một số dương $x$ để đẳng thức xảy ra. Từ đó, ta có thể chọn số dương $y\in \left ( 0,2\sqrt{a} \right )$ sao cho: $f(y)<b$. 

Khi đó, $\frac{a}{f(y)}>\frac{a}{b}\geqslant b$, thế $x$ bởi $\frac{a}{f(y)}-b$ trong đẳng thức ban đầu, ta có: $$f\left ( f\left ( \frac{a}{f(y)}-b \right )+\frac{a}{f\left ( \frac{a}{f(y)}-b \right )} \right )=\frac{a}{f(y)}$$ Sử dụng nhận xét thêm một lần nữa, ta được: $$2\sqrt{a}>y=f\left ( \frac{a}{f(y)}-b \right )+\frac{a}{f\left ( \frac{a}{f(y)}-b \right )}\geqslant 2\sqrt{a}$$ Mâu thuẫn này giúp ta kết thúc phép chứng minh điều kiện cần.

Công việc còn lại là xây dựng hàm số với $b>\sqrt{a}$. Xét một hàm $f$ liên tục, tăng thực sự trên đoạn $\left [ 0,2\sqrt{a} \right ]$ thỏa mãn: $f(0)=\sqrt{a}$ và $f(2\sqrt{a})=b$. Ý tưởng của ta là sẽ mở rộng $f$ cho toàn bộ $\mathbb{R}^{+}$ và thỏa mãn tính chất bài toán.

Xây dựng dãy $(a_{n})$ như sau: $a_{0}=0,a_{1}=2\sqrt{a}$. Giả sử ta đã xác định được $a_{n}$, đặt $f(a_{n})=a_{n-1}+b$ và đặt $a_{n+1}=f(a_{n})+\frac{a}{f(a_{n})}$. Dễ dàng chứng minh được $a_{n}\rightarrow \infty$ nên ta chỉ cần xây dựng trên từng khoảng $(a_{k},a_{k+1})$. Giả sử ta đã xây dựng hàm $f$ trên khoảng $(a_{k-1},a_{k})$. Khi đó, với mọi $x\in \left ( a_{k},a_{k+1} \right )$, tồn tại duy nhất $y\in \left ( a_{k-1},a_{k} \right )$ sao cho $x=f(y)+\frac{a}{f(y)}$. Ta đặt $f(x)=y+b$. Rõ ràng với cách xây dựng này thì hàm $f$ sau khi tập nguồn bỏ đi phần tử $0$ và tập đích bỏ đi phần tử $\sqrt{a}$ thì thỏa mãn tính chất bài toán. Phép chứng minh hoàn tất.

P/s: Lâu ngày trở lại thấy VMF vẫn còn rất nhiều bài toán đẹp để suy ngẫm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trungpbc: 03-11-2013 - 21:46





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh