Cho $a > 1 $ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương khác 0 N có một bội số trong dãy $(a_n) n\geq 1; a_n= \[ \dfrac{a^n}{n} \]$
#1
Đã gửi 19-02-2008 - 21:19
lyxuansang91
-
- Thành viên
-
- 145 Bài viết
Trung sĩ
<span style='color: #FF8C00'><strong class='bbc'><em class='bbc'><span style='font-size: 36px;'>Em muốn học giỏi toán</span></em></strong></span>
#2
Đã gửi 21-06-2009 - 18:33
Non_Stop
-
- Thành viên
-
- 86 Bài viết
LTV School
Ta sẽ chứng minh với mọi số m đều tồn tại một số n sao cho $m | [\dfrac{a^n}{n}]$
Nếu $m=2$ thì hoặc a chẵn (khi đó $n=1$ thỏa),a lẻ (khi đó $n=2$ thỏa).
Nếu $m |a$ thì $n=a$ thỏa mãn.
Nếu a không chia hết cho m,đặt $d=(a,m)$.Áp dụng định lý Dirichlet suy ra tồn tại vô hạn số nguyên tố q sao cho $q=\phi(\dfrac{m}{d}).k+1$,bây giờ chọn q sao cho $q>max(\dfrac{m}{d},a)$ theo định lý Euler suy ra $\dfrac{qm}{d}| a^{q-1}-1$(do $(a,\dfrac{m}{d})=1),(a,q)=1$),suy ra $\dfrac{qm}{d}| \dfrac{a}{d}(a^{q-1}-1) \rightarrow m| \dfrac{a^q-a}{q}$.Như vậy chọn n=q ta suy ra được $a_q=[\dfrac{a_q}{q}]=\dfrac{a^q-a}{q}$ chia hết cho m.Từ đó ta có đpcm.
Nếu $m=2$ thì hoặc a chẵn (khi đó $n=1$ thỏa),a lẻ (khi đó $n=2$ thỏa).
Nếu $m |a$ thì $n=a$ thỏa mãn.
Nếu a không chia hết cho m,đặt $d=(a,m)$.Áp dụng định lý Dirichlet suy ra tồn tại vô hạn số nguyên tố q sao cho $q=\phi(\dfrac{m}{d}).k+1$,bây giờ chọn q sao cho $q>max(\dfrac{m}{d},a)$ theo định lý Euler suy ra $\dfrac{qm}{d}| a^{q-1}-1$(do $(a,\dfrac{m}{d})=1),(a,q)=1$),suy ra $\dfrac{qm}{d}| \dfrac{a}{d}(a^{q-1}-1) \rightarrow m| \dfrac{a^q-a}{q}$.Như vậy chọn n=q ta suy ra được $a_q=[\dfrac{a_q}{q}]=\dfrac{a^q-a}{q}$ chia hết cho m.Từ đó ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Non_Stop: 21-06-2009 - 20:30
P.M.K
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
