Chủ đề này có 1 trả lời

[china]

Giai PT:
$x^{4} + y^{4} + z^{4} + t^{4} =2008xyzt $với x,y,z,t là các số nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 27-07-2011 - 16:44

[nguyenta98]

Giai PT:
$x^{4} + y^{4} + z^{4} + t^{4} =2008xyzt $với x,y,z,t là các số nguyên

Giải như sau:
Ta có $VT\geq 0\Rightarrow xyzt\geq 0$ nên ta hoàn toàn có thể giả sử $x,y,z,t\geq 0$ (do $4$ là mũ chẵn)
Nhận thấy $k^4 \equiv 0,1 \pmod{4}$
Mà $2008xyzt \vdots 4 \Rightarrow x^4+y^4+z^4+t^4 \vdots 4$
Suy ra $x,y,z,t$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ
TH1: $x,y,z,t$ cùng lẻ mặt khác $x,y,z,t$ đều lẻ nên $x^4 \equiv y^4 \equiv z^4 \equiv t^4 \equiv 1 \pmod{8}$
Suy ra $x^4+y^4+z^4+t^4 \equiv 4 \pmod{8}$ vô lý do $2008 \vdots 8$
TH2: $x,y,z,t$ cùng chẵn, giả sử $x,y,z,t$ là nghiệm sao cho $x+y+z+t$ min
Suy ra $x=2x',y=2y',z=2z',t=2t'$
Thế vào phương trình và giản ước ta còn $(x')^4+(y')^4+(z')^4+(t')^4=2008x'y'z't'$ suy ra $x',y',z',t'$ cũng là nghiệm mà $x'+y'+z'+t'<x+y+z+t$ vô lý
Do đó phương trình chỉ có nghiệm $x=y=z=t=0$
Vậy $\boxed{x=y=z=t=0}$