Chủ đề này có 5 trả lời

[chithang]

Cho a,b,c là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:
$$c[ \frac{c}{ab}]- [\frac{c}{a} ][\frac{c}{b} ] \leq c.\min\{ \frac{1}{a} ;\frac{1}{b}\}$$

[DOTOANNANG]

Do vai trò của $a$ và $b$ đối xứng nhau nên ta có thể giả sử bất đẳng thức với $a\leqq b$ và chứng minh như sau:

$$\begin{equation}\begin{split} \frac{c}{b}+ \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor\geqq c\left \lfloor \frac{c}{a\cdot b} \right \rfloor \end{split}\end{equation}$$

Đặt $c= kab+ d$ với $k\geqq 0$ và $0\leqq d\leqq ab$ thì vế phải của $({\text{1}})$ trở thành $(kab+ d)k= k^{2}ab+ dk$. Xét $c< b$ thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng.

Xét $c\geqq b$ thì $\frac{c}{b}+ \lfloor\!\frac{c}{a}\!\rfloor\lfloor\!\frac{c}{b}\!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b}\!\rfloor>ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ \frac{d}{a}- 1\!)(\!ka+ \frac{d}{b}- 1\!)=$$abk^{2}+ kd+ \left (\!k(\!d- b\!)+ \frac{d}{a}\left (\!\frac{d}{b}- 1\!\right )+ 1\!\right )$

Nếu $d\geqq b$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu $d\leqq b$ thì đặt $d= ma+ n$ với $m\geqq 0, 0\leqq n< a$ thì $ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b} \!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ m\!)ka\geqq abk^{2}+ k(\!ma+ n\!)=$$abk^{2}+ kd$

$$\begin{equation}\begin{split} ka+ \frac{d}{b}+ (kb+ m)ka\geqq ka+ (kb+ m)ka= abk^{2}+ k(ma+ a)\geqq abk^{2}+ k(ma+ n) \end{split}\end{equation}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 16-07-2019 - 10:07

[chanhquocnghiem]

Do vai trò của $a$ và $b$ đối xứng nhau nên ta có thể giả sử bất đẳng thức với $a\leqq b$ và chứng minh như sau:

$$\begin{equation}\begin{split} \frac{c}{b}+ \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor\geqq c\left \lfloor \frac{c}{a\cdot b} \right \rfloor \end{split}\end{equation}$$

Đặt $c= kab+ d$ với $k\geqq 0$ và $0\leqq d\leqq ab$ thì vế phải của $({\text{1}})$ trở thành $(kab+ d)k= k^{2}ab+ dk$. Xét $c< b$ thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng.

Xét $c\geqq b$ thì $\frac{c}{b}+ \lfloor\!\frac{c}{a}\!\rfloor\lfloor\!\frac{c}{b}\!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b}\!\rfloor>ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ \frac{d}{a}- 1\!)(\!ka+ \frac{d}{b}- 1\!)=$$abk^{2}+ kd+ \left (\!k(\!d- b\!)+ \frac{d}{a}\left (\!\frac{d}{b}- 1\!\right )+ 1\!\right )$

Nếu $d\geqq b$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu $d\leqq b$ thì đặt $d= ma+ n$ với $m\geqq 0, 0\leqq n< a$ thì $ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b} \!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ m\!)ka\geqq abk^{2}+ k(\!ma+ n\!)=$$abk^{2}+ kd$

$$\begin{equation}\begin{split} ka+ \frac{d}{b}+ (kb+ m)ka\geqq ka+ (kb+ m)ka= abk^{2}+ k(ma+ a)\geqq abk^{2}+ k(ma+ n) \end{split}\end{equation}$$

Sửa lại một chút ở dòng thứ ba : $0\leqslant d\leqslant ab-1$

Và dòng thứ tám : $d< b$

[phamnam2705]

Do vai trò của $a$ và $b$ đối xứng nhau nên ta có thể giả sử bất đẳng thức với $a\leqq b$ và chứng minh như sau:

$$\begin{equation}\begin{split} \frac{c}{b}+ \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor\geqq c\left \lfloor \frac{c}{a\cdot b} \right \rfloor \end{split}\end{equation}$$

Đặt $c= kab+ d$ với $k\geqq 0$ và $0\leqq d\leqq ab$ thì vế phải của $({\text{1}})$ trở thành $(kab+ d)k= k^{2}ab+ dk$. Xét $c< b$ thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng.

Xét $c\geqq b$ thì $\frac{c}{b}+ \lfloor\!\frac{c}{a}\!\rfloor\lfloor\!\frac{c}{b}\!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b}\!\rfloor>ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ \frac{d}{a}- 1\!)(\!ka+ \frac{d}{b}- 1\!)=$$abk^{2}+ kd+ \left (\!k(\!d- b\!)+ \frac{d}{a}\left (\!\frac{d}{b}- 1\!\right )+ 1\!\right )$

Nếu $d\geqq b$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu $d\leqq b$ thì đặt $d= ma+ n$ với $m\geqq 0, 0\leqq n< a$ thì $ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b} \!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ m\!)ka\geqq abk^{2}+ k(\!ma+ n\!)=$$abk^{2}+ kd$

$$\begin{equation}\begin{split} ka+ \frac{d}{b}+ (kb+ m)ka\geqq ka+ (kb+ m)ka= abk^{2}+ k(ma+ a)\geqq abk^{2}+ k(ma+ n) \end{split}\end{equation}$$

Bác vui lòng giải thích giúp mình vì sao c<b thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng ạ! Xin cám ơn!

[chanhquocnghiem]

Bác vui lòng giải thích giúp mình vì sao c<b thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng ạ! Xin cám ơn!

$c< b$ thì $c< ab$, dẫn đến $\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{c}{ab} \right \rfloor=0$.

Do đó bất đẳng thức đã cho trong đề bài hiển nhiên đúng (vì vế trái bằng $0$, còn vế phải dương)

[DOTOANNANG]

"dele"? [yes/No] Y

"dele" end

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-07-2019 - 09:07