Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh bất đẳng thức số học $c[ \frac{c}{ab}]- [\frac{c}{a} ][\frac{c}{b} ] \leq ...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 chithang

chithang

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hoá

Đã gửi 21-02-2008 - 19:31

Cho a,b,c là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:
$$c[ \frac{c}{ab}]- [\frac{c}{a} ][\frac{c}{b} ] \leq c.\min\{ \frac{1}{a} ;\frac{1}{b}\}$$


Học, học nữa, học mãi, học cho hết đời!

Email: [email protected]

Đặt: [tex]\left\{ \begin{array}{l} \sin ^2 x = I \\ c{\rm{os}}^2 x = U \\ \end{array} \right[/tex]
Suy ra: I + U = 1

Hay ta có: I U là một!

Hình đã gửi


#2 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1337 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 16-07-2019 - 10:01

Do vai trò của $a$ và $b$ đối xứng nhau nên ta có thể giả sử bất đẳng thức với $a\leqq b$ và chứng minh như sau:

$$\begin{equation}\begin{split} \frac{c}{b}+ \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor\geqq c\left \lfloor \frac{c}{a\cdot b} \right \rfloor \end{split}\end{equation}$$

Đặt $c= kab+ d$ với $k\geqq 0$ và $0\leqq d\leqq ab$ thì vế phải của $({\text{1}})$ trở thành $(kab+ d)k= k^{2}ab+ dk$. Xét $c< b$ thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng.

Xét $c\geqq b$ thì $\frac{c}{b}+ \lfloor\!\frac{c}{a}\!\rfloor\lfloor\!\frac{c}{b}\!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b}\!\rfloor>ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ \frac{d}{a}- 1\!)(\!ka+ \frac{d}{b}- 1\!)=$$abk^{2}+ kd+ \left (\!k(\!d- b\!)+ \frac{d}{a}\left (\!\frac{d}{b}- 1\!\right )+ 1\!\right )$

Nếu $d\geqq b$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu $d\leqq b$ thì đặt $d= ma+ n$ với $m\geqq 0, 0\leqq n< a$ thì $ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b} \!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ m\!)ka\geqq abk^{2}+ k(\!ma+ n\!)=$$abk^{2}+ kd$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 16-07-2019 - 10:07


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1909 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-07-2019 - 09:11

Do vai trò của $a$ và $b$ đối xứng nhau nên ta có thể giả sử bất đẳng thức với $a\leqq b$ và chứng minh như sau:

$$\begin{equation}\begin{split} \frac{c}{b}+ \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor\geqq c\left \lfloor \frac{c}{a\cdot b} \right \rfloor \end{split}\end{equation}$$

Đặt $c= kab+ d$ với $k\geqq 0$ và $0\leqq d\leqq ab$ thì vế phải của $({\text{1}})$ trở thành $(kab+ d)k= k^{2}ab+ dk$. Xét $c< b$ thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng.

Xét $c\geqq b$ thì $\frac{c}{b}+ \lfloor\!\frac{c}{a}\!\rfloor\lfloor\!\frac{c}{b}\!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b}\!\rfloor>ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ \frac{d}{a}- 1\!)(\!ka+ \frac{d}{b}- 1\!)=$$abk^{2}+ kd+ \left (\!k(\!d- b\!)+ \frac{d}{a}\left (\!\frac{d}{b}- 1\!\right )+ 1\!\right )$

Nếu $d\geqq b$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu $d\leqq b$ thì đặt $d= ma+ n$ với $m\geqq 0, 0\leqq n< a$ thì $ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b} \!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ m\!)ka\geqq abk^{2}+ k(\!ma+ n\!)=$$abk^{2}+ kd$

Sửa lại một chút ở dòng thứ ba : $0\leqslant d\leqslant ab-1$

Và dòng thứ tám : $d< b$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4 phamnam2705

phamnam2705

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 17-07-2019 - 15:45

Do vai trò của $a$ và $b$ đối xứng nhau nên ta có thể giả sử bất đẳng thức với $a\leqq b$ và chứng minh như sau:

$$\begin{equation}\begin{split} \frac{c}{b}+ \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor\geqq c\left \lfloor \frac{c}{a\cdot b} \right \rfloor \end{split}\end{equation}$$

Đặt $c= kab+ d$ với $k\geqq 0$ và $0\leqq d\leqq ab$ thì vế phải của $({\text{1}})$ trở thành $(kab+ d)k= k^{2}ab+ dk$. Xét $c< b$ thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng.

Xét $c\geqq b$ thì $\frac{c}{b}+ \lfloor\!\frac{c}{a}\!\rfloor\lfloor\!\frac{c}{b}\!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b}\!\rfloor>ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ \frac{d}{a}- 1\!)(\!ka+ \frac{d}{b}- 1\!)=$$abk^{2}+ kd+ \left (\!k(\!d- b\!)+ \frac{d}{a}\left (\!\frac{d}{b}- 1\!\right )+ 1\!\right )$

Nếu $d\geqq b$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu $d\leqq b$ thì đặt $d= ma+ n$ với $m\geqq 0, 0\leqq n< a$ thì $ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b} \!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ m\!)ka\geqq abk^{2}+ k(\!ma+ n\!)=$$abk^{2}+ kd$

Bác vui lòng giải thích giúp mình vì sao c<b thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng ạ! Xin cám ơn!



#5 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1909 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-07-2019 - 21:24

Bác vui lòng giải thích giúp mình vì sao c<b thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng ạ! Xin cám ơn!

$c< b$ thì $c< ab$, dẫn đến $\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{c}{ab} \right \rfloor=0$.

Do đó bất đẳng thức đã cho trong đề bài hiển nhiên đúng (vì vế trái bằng $0$, còn vế phải dương)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1337 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 18-07-2019 - 08:36

"dele"? [yes/No] Y

"dele" end

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-07-2019 - 09:07





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh