Chủ đề này có 2 trả lời

[LvanhTuan]

Cho đường tròn $(O)$. Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến $AB$ và $AC$$(B,C $ là các tiếp điểm), $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$; $P$ là điểm bất kỳ trên đường thẳng $MN$.Kẻ $PD$ là tiếp tuyến của $(O)$. CMR $PA=PD$

[Trần Đức Anh @@]

Kí hiệu $R$ là độ dài bán kính của $(O)$. Gọi $H$ là trung điểm $MN$, ta có $PD^2=PO^2-R^2=PH^2+HO^2-R^2=PA^2-AH^2+HO^2-R^2$ ( ta cần chứng minh biểu thức này bằng $PA^2$). Tương đương với việc chứng minh: $HO^2=AH^2+R^2$ tương đương với $(AO-AH)^2=AH^2+R^2$ tương đương với $AO^2-2AO.AH=R^2$, mà $AO.AH=AM.AB=\frac{1}{2}AB^2=\frac{1}{2}(AO^2-R^2)$. Suy ra đpcm

[hoangtubatu955]

Ta có ngay $MN$ là trục đẳng phương của $(A;0)$ và $(O;R)$.

Do đó

     $P$ thuộc trục đẳng phương của $(A;0)$ và $(O;R)$.

 $\to PA^2=PD^2$ hay $PA=PD$,đpcm.

Hình gửi kèm

•