Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$. Gọi $I,J$ là 2 điểm thuộc $AB$ và đối xứng nhau qua $O$. Điểm $M$ là điểm thuộc $(O)$, khác $A$ và $B$. Giả sử $MI, MJ$ và $MO$ lần lượt cắt $(O)$ tại các giao điểm thức hai (khác $M$) là $P,Q$ và $S$. Hai đường thẳng $PQ$ và $AB$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng $RS$ là tiếp tuyến của $(O)$.
$RS$ là tiếp tuyến của $(O)$.
#1
Đã gửi 21-02-2008 - 22:25
- nhungvienkimcuong yêu thích
#2
Đã gửi 17-07-2015 - 23:06
Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$. Gọi $I,J$ là 2 điểm thuộc $AB$ và đối xứng nhau qua $O$. Điểm $M$ là điểm thuộc $(O)$, khác $A$ và $B$. Giả sử $MI, MJ$ và $MO$ lần lượt cắt $(O)$ tại các giao điểm thức hai (khác $M$) là $P,Q$ và $S$. Hai đường thẳng $PQ$ và $AB$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng $RS$ là tiếp tuyến của $(O)$.
Ta có $AB\cap PQ=R$ .Gọi $R'$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $S$ với $AB$, kẻ thêm
tiếp tuyến $RC$ .
Dễ thấy $\Delta IMO=\Delta JSO$ nên $\widehat{IMO}=\widehat{JSO}$
Mặt khác ta có $OR$ là trục đối xứng của $CS$ và tứ giác $MPSQ$ nội tiếp nên:
$\left\{\begin{matrix} \widehat{PMS}=\widehat{PQS} & \\ \widehat{OSJ}=\widehat{OCJ}& \end{matrix}\right.$
Suy ra $\widehat{JQP}=\widehat{JCR}$ do cùng phụ với $\widehat{PQS}=\widehat{OCJ}$
Điều đó chứng tỏ tứ giác $CJQR$ nội tiếp ,ta tính được:
$\widehat{SQR}=360^{\circ}-90^{\circ}-(180^{\circ}-\widehat{JCR})=90^{\circ}+\widehat{JCR}$
$\Rightarrow \widehat{PQR}=\widehat{OCJ}+90^{\circ}+\widehat{JCR}=180^{\circ}$
Nên $\overline{P,Q,R'}\Rightarrow R\equiv R'$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 19-07-2015 - 21:30
- foollock holmes và Warrior Championship thích
Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ
#3
Đã gửi 17-07-2015 - 23:25
Dạng tổng quát của bài trên: với AB là 1 dây cung của đtròn(O) ta cx có kết quả tương tự.
Chứng Minh:
_Trên (O) lấy điểm N sao cho MN//AB
_Có: M(TOJI)=-1 <=> (TSQP)=-1 suy ra TQSP là tứ giác điều hòa => gọi X là giao điểm của tiếp tuyến của (O) tại T và S thì X thuộc PQ. (1)
_Tương tự thì TBSA cx là tứ giác điều hòa => X thuộc AB (2)
từ (1) và (2) ta có đpcm. ($X\equiv R$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 17-07-2015 - 23:26
- nhungvienkimcuong, foollock holmes và IceSnow thích
#4
Đã gửi 18-07-2015 - 18:21
Mình chưa up được hình, cái bạn làm link dưới xem hình.
https://www.dropbox.... 18.12.jpg?dl=0
Gọi $K$ là điểm đối xứng với $S$ qua $BC$. Khi đó ta có $MK || IJ$, kết hợp $OI=OJ$ ta có $M(IJ,OK)=-1$, chiếu chùm này lên đường tròn $(O)$ ta có tứ giác $PSQK$ điều hòa, hay $PQ, SS,KK$ đồng quy ( với $SS$, $KK$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $S$ và $K$.).
Mặt khác, điểm đồng quy nằm trên trung trực $SK$, hay nó nằm trên $AB$ nói cách khác $AB,PQ,SS,KK$ đồng quy tại $R$ là giao của $PQ$ và $AB$.
Từ đây ta thu được $RS$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$, đpcm.
#5
Đã gửi 18-07-2015 - 21:48
Ta có $AB\cap PQ=R$ .Gọi $R'$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $S$ với $AB$, kẻ thêm
tiếp tuyến $RC$ .
Dễ thấy $\Delta IMO=\Delta JSO$ nên $\widehat{IMO}=\widehat{JSO}$
Mặt khác ta có $OR$ là trục đối xứng của $CS$ và tứ giác $MPSQ$ nội tiếp nên:
$\left\{\begin{matrix} \widehat{PMS}=\widehat{RQS} & \\ \widehat{OSJ}=\widehat{OCJ}& \end{matrix}\right.$
Suy ra $\widehat{JQP}=\widehat{JCR}$ do cùng phụ với $\widehat{PQS}=\widehat{OCJ}$
Điều đó chứng tỏ tứ giác $CJQR$ nội tiếp ,ta tính được:
$\widehat{SQR}=360^{\circ}-90^{\circ}-(180^{\circ}-\widehat{JCR})=90^{\circ}+\widehat{JCR}$
$\Rightarrow \widehat{PQR}=\widehat{OCJ}+90^{\circ}+\widehat{JCR}=180^{\circ}$
Nên $\overline{P,Q,R'}\Rightarrow R\equiv R'$
Tớ thấy chỗ này $\left\{\begin{matrix} \widehat{PMS}=\widehat{{\color{Red} RQS}} & \\ \widehat{OSJ}=\widehat{OCJ}& \end{matrix}\right.$ không ổn lắm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 18-07-2015 - 21:55
- Bonjour yêu thích
#6
Đã gửi 19-07-2015 - 21:30
Tớ thấy chỗ này $\left\{\begin{matrix} \widehat{PMS}=\widehat{{\color{Red} RQS}} & \\ \widehat{OSJ}=\widehat{OCJ}& \end{matrix}\right.$ không ổn lắm
Vâng,mình đã sửa,cảm ơn bạn
- LzuTao và Warrior Championship thích
Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ
#7
Đã gửi 19-07-2015 - 21:33
Mình chưa up được hình, cái bạn làm link dưới xem hình.
https://www.dropbox.... 18.12.jpg?dl=0
Gọi $K$ là điểm đối xứng với $S$ qua $BC$. Khi đó ta có $MK || IJ$, kết hợp $OI=OJ$ ta có $M(IJ,OK)=-1$, chiếu chùm này lên đường tròn $(O)$ ta có tứ giác $PSQK$ điều hòa, hay $PQ, SS,KK$ đồng quy ( với $SS$, $KK$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $S$ và $K$.).
Mặt khác, điểm đồng quy nằm trên trung trực $SK$, hay nó nằm trên $AB$ nói cách khác $AB,PQ,SS,KK$ đồng quy tại $R$ là giao của $PQ$ và $AB$.
Từ đây ta thu được $RS$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$, đpcm.
Nên nhớ đây là bài toán trong tuần ,vả lại còn là một bài toán THCS nữa ,nên việc dùng tỉ số kép không phù hợp cho lắm
Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh