Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Mở rộng Galois


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 19 trả lời

#1 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 03-01-2005 - 20:02

Giúp với!!!! :danh :danh . Xét đa thức f = X^4 - 2 over Q in C.
Về lý thuyết Galois: Tất nhiên là |Aut(Q(căn bậc 4 của 2 ); Q)| = 4 rồi. Trong đó |.| ý muốn nói số phần tử của nhóm. Mình tìm mãi không ra được 4 Automorphisms của Q(căn bậc 4 của 2) . Nên đành quay ra tìm cách chứng minh là Q( căn bậc 4 của 2 ) là trường phân rã của f over Q. Nên theo Galois ta có Lực lượng của nhóm nói trên sẽ bằng [Q(căn bậc 4 của 2):Q]và do đó phải bằng 4, với ký hiệu [. : .] là muốn nói index của 1 nhóm con trong 1 nhóm. Tuy nhiên vẫn chưa chỉ ra được có tồn tại hay không 1 nhóm con G hũu hạn của Q( căn bậc 4 của 2) sao cho Q = Fix( Q( căn bậc 4 của 2) ; G). Trong đó Fix là chỉ nhóm của các Fix-point. Có nghĩa là a thuộc Q ( căn bậc 4 của 2) thì g(a) = a, với mọi g thuộc G. :gian :gian :gian

#2 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 04-01-2005 - 00:17

Thôi cám ơn đã tự tìm được lời giải rồi. |Aut Q(căn bậc 4 của 2),Q) | sẽ bằng | Aut Q ( căn bậc 4 của 2) | vì Q là prim field.
Tuy nhiên sẽ có thể là Q(căn bậc 4 của 2) / Q không phải là Galois extension. Cho nên tớ chỉ tìm được 2 automorphisms mà thôi, tức là không nhất thiết xảy ra đẳng thức sau:
|Aut Q(căn bậc 4 của 2),Q) | = [Q(căn bậc 4 của 2):Q].

#3 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 05-01-2005 - 14:05

Mở rộng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q(\sqrt[4]{2})/Q không phải là mở rộng Galois, tuy rằng nó là mở rộng tách được (separable extension) nhưng không là mở rộng chuẩn tắc (normal extension), nó không là trường phân rã của đa thức http://dientuvietnam...metex.cgi?x^4-2 vì hiển nhiên trường http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q(\sqrt[4]{2}) là trường con của R nên nó không chứa 2 nghiệm phức của http://dientuvietnam...etex.cgi?x^4-2. Trường phân rã của đa thức http://dientuvietnam...metex.cgi?x^4-2http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K=Q(\sqrt[4]{2},i) và mở rộng K/Q là mở rộng Galois bậc 8 với nhóm Galois đẳng cấu với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q(\sqrt[4]{2})/Q có 2 phần tử: một là tự đẳng cấu đồng nhất, phần tử thứ 2 là tự đẳng cấu biến http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sqrt[4]{2} thành -http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sqrt[4]{2} (giữ nguyên Q).

#4 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 05-01-2005 - 17:28

Trường phân rã của đa thức http://dientuvietnam...metex.cgi?x^4-2 là  http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K=Q(\sqrt[4]{2},i) và mở rộng K/Q là mở rộng Galois bậc 8 với nhóm Galois đẳng cấu với


Chắc phải là nhóm dihedral D_8 chứ không phải Z/4 x Z/2 vì nhóm này phải nhúng được vào nhóm đối xứng S_4 (giao hoán bốn nghiệm). Nhóm con bậc 8 của S_4 thì là nhóm 2-Sylow, vậy phải là D_8.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi noproof: 19-01-2005 - 18:18


#5 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 06-01-2005 - 10:22

Chắc phải là nhóm dihedral D_8 chứ không phải Z/4 x Z/2 vì nhóm này phải nhúng được vào nhóm đối xứng S_4 (giao hoán bốn nghiệm). Nhóm con bậc 8 của S_4 thì là nhóm 2-Sylow, vậy phải là D_8.


Đúng là không phải Z/4Z x Z/2Z. Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma là tự đẳng cấu của K trên Q(i) (tức là giữ nguyên các phần tử của Q(i)) biến http://dientuvietnam...sqrt&#091;4]{2} thành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tau là tự đẳng cấu của K trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q(\sqrt&#091;4]{2}) biến i thành -i. Khi đó nhóm Galois của K/Q là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G=<\sigma,\tau>. Kiểm tra trực tiếp được: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma có cấp 4, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tau có cấp 2, và , tức G là nhóm Dihedral D_8. (Chi tiết có thể xem tiết 2, chương VIII. Galois Theory, trong quyển Algebra của S. Lang).

#6 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 06-01-2005 - 15:43

Hoan` toan` dung´ ! To´ cung tim` duoc loi` giai rôi` , câi´ vu. Âutomorphism y´ ma` , đê~ thoi.

#7 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 06-01-2005 - 16:43

Khi đó nhóm Galois của K/Q là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G=<\sigma,\tau>. Kiểm tra trực tiếp được: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma có cấp 4, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tau có cấp 2, và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tau\sigma\tau=\sigma^3, tức G là nhóm Dihedral D_8.


Tôi nghĩ dịch Splitting field là "trường phân rã" thì nghe có vẻ như khái niệm trường trong vật lý chứ không phải toán. Có lẽ dịch là "trường tách" thì chính xác hơn, tuy rằng đọc lên thấy hơi lạo xạo, không quen :D .

Không biết nếu nhóm Galois là nhóm Quaternion Q8 thì mở rộng Galois E của Q có dạng như thế nào? Theo như lập luận của tôi thì phải đi tìm một đa thức có bậc ít nhất là 6, vì Q8 không nhúng được vào S_5 (D8 vẫn là nhóm con 2-Sylow của S_5).

Ít nhất thì Q_8 nhúng được vào S_8. Không biết Q8 có nhúng được vào S_6 không? Nếu không được thì S_7 cũng không được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi noproof: 19-01-2005 - 17:55


#8 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 06-01-2005 - 18:12

Hình như các cậu hơi nhầm 1 chút. Nhóm S4 có 3 nhóm 2-Sylow. Nhóm dihedral bậc 8 thì phải là D4 chứ không phải D8.
Tức là ảnh của ánh xạ AutL ----> S4 được cho bởi <V union với <3,4>>. Với V là nhóm con chuẩn tắc 4 phần tử của A4.

#9 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 06-01-2005 - 19:21

À không tên gọi không quan trọng, cứ biết là dihedral bậc 8 là được, có thể các cậu sử dụng ký hiệu khác

#10 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 11-05-2005 - 14:19

Không biết nếu nhóm Galois là nhóm Quaternion Q8 thì mở rộng Galois E của Q có dạng như thế nào?  Theo như lập luận của tôi thì phải đi tìm một đa thức có bậc ít nhất là 6, vì Q8 không nhúng được vào S_5 (D8 vẫn là nhóm con 2-Sylow của S_5). 

Ít nhất thì Q_8 nhúng được vào S_8. Không biết Q8 có nhúng được vào S_6 không? Nếu không được thì S_7 cũng không được.

Liệu có thực sự tồn tại một mở rộng Galois trên Q nhận nhóm Q8 làm nhóm Galois của nó?

#11 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 11-05-2005 - 17:46

Liệu có thực sự tồn tại một mở rộng Galois trên Q nhận nhóm Q8 làm nhóm Galois của nó?

Hi nopoof,

Tôi nhớ là có một định lý nổi tiếng của Shafarevich nói rằng mọi nhóm giải được (solvable) đều là nhóm Galois. Mặt khác ngừơi ta đã phân loại và chỉ ra rằng mọi nhóm hữu hạn cấp <= 60 đều là nhóm giải được.

Quay trở lại với câu hỏi liệu Q_8 có nhúng được vào S_6 hay không, lời giải sử dụng kiến thức về nhóm con 2-Sylow của nhóm đối xứng mà diễn đàn đã từng thảo luận. noproof đã tìm ra lời giải chưa?

#12 nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 11-05-2005 - 18:17

Mặt khác ngừơi ta đã phân loại và chỉ ra rằng mọi nhóm hữu hạn cấp <= 60 đều là nhóm giải được.

Cũng đã chứng minh được là mọi nhóm có cấp lẻ đều là nhóm giải được.
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#13 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 16-05-2005 - 14:39

Cảm ơn bác bupbebe!

Trong một bài viết của bác bupbebe có chỉ ra (một) nhóm 2-Sylow của S6 là D8xZ/2, từ đó có thể suy ra Q8 không nhúng vào được S6 (và S7) (hy vọng đúng ;) )

Nhóm A5 có 60 phần tử và không giải được nên có lẽ trong khẳng định mọi nhóm hữu hạn cấp <= 60 đều giải được ta bỏ đi dấu =(60).

HÌnh như, với mọi n, tồn tại mở rộng Galois K trên Q sao cho nhóm Galois của mở rộng này là S_n?

#14 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 17-05-2005 - 21:48

Trong một bài viết của bác bupbebe có chỉ ra (một) nhóm 2-Sylow của S6 là D8xZ/2, từ đó có thể suy ra Q8 không nhúng vào được S6 (và S7) (hy vọng đúng ;) )


Đại ý chứng minh là vậy, nhưng devils are in the details :-)

Nhóm A5 có 60 phần tử và không giải được nên có lẽ trong khẳng định mọi nhóm hữu hạn cấp <= 60 đều giải được ta bỏ đi dấu =(60).

ok!

HÌnh như, với mọi n, tồn tại mở rộng Galois K trên Q sao cho nhóm Galois của mở rộng này là S_n?


hình như thế :-)

#15 canh_dieu

canh_dieu

    Trung sĩ

  • Founder
  • 150 Bài viết
  • Đến từ:United States
  • Sở thích:Phở, nhưng làm ơn đừng cho giá đỗ.

Đã gửi 18-05-2005 - 06:20

HÌnh như, với mọi n, tồn tại mở rộng Galois K trên Q sao cho nhóm Galois của mở rộng này là S_n?


Tớ chỉ biết là với mọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n tồn tại một trường http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S và một đa thức http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(X) là http://dientuvietnam...imetex.cgi?S_n. Cách xây dựng như sau

Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?F là một trường tùy ý, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K=F(X_1,\ldots,X_n).

Nhóm đối xứng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_n là một nhóm con của nhóm các tự đẳng cấu (trường) của http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?K. Kí hiệu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là trường bất động của http://dientuvietnam...imetex.cgi?S_n. Ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K là splitting field của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(X) trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?GL(K/S) là nhóm đối xứng trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n phần tử nhờ các quan hệ sau


<span style='color:blue'>Thu đi để lại lá vàng
Anh đi để lại cho nàng thằng ku</span>

#16 canh_dieu

canh_dieu

    Trung sĩ

  • Founder
  • 150 Bài viết
  • Đến từ:United States
  • Sở thích:Phở, nhưng làm ơn đừng cho giá đỗ.

Đã gửi 18-05-2005 - 07:10

HÌnh như, với mọi n, tồn tại mở rộng Galois K trên Q sao cho nhóm Galois của mở rộng này là S_n?

Theo Lang thì để chứng minh điều này cần phải dùng đến Hilbert irreducibility Theorem :)
<span style='color:blue'>Thu đi để lại lá vàng
Anh đi để lại cho nàng thằng ku</span>

#17 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 20-05-2005 - 12:13

HÌnh như, với mọi n, tồn tại mở rộng Galois K trên Q sao cho nhóm Galois của mở rộng này là S_n?

Theo Lang thì để chứng minh điều này cần phải dùng đến Hilbert irreducibility Theorem :)

Bác canh_dieu (hoặc ai đó) có thể giới thiệu định lý Hilbert irreducibility Theorem không ạ? Và nếu có diễn giải việc suy ra nhóm S_n là nhóm Galois trên Q từ định lý này thì càng hay ạ.

Nhân tiện, chúng ta vẫn chưa chỉ ra cụ thể một mở rộng Galois K/Q có nhóm Galois là Q8: đưa ra một đa thức mà trường phân rã (trường tách) K của nó là mở rông Galois với nhóm Gal(K/Q)=Q8.

#18 Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Truyện Kim Dung và đội Arsenal

Đã gửi 20-05-2005 - 22:13

Tôi nhớ là có một định lý nổi tiếng của Shafarevich nói rằng mọi nhóm giải được (solvable) đều là nhóm Galois. Mặt khác ngừơi ta đã phân loại và chỉ ra rằng mọi nhóm hữu hạn cấp <= 60 đều là nhóm giải được.

Không biết bạn có nhầm không?
Nhóm đối xứng S_5 là không giải được (dùng để chỉ ra tồn tại đa thức bậc 5 không giải được)cơ mà.

Chỉ có cái này thôi:

(nemo) Cũng đã chứng minh được là mọi nhóm có cấp lẻ đều là nhóm giải được


Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#19 canh_dieu

canh_dieu

    Trung sĩ

  • Founder
  • 150 Bài viết
  • Đến từ:United States
  • Sở thích:Phở, nhưng làm ơn đừng cho giá đỗ.

Đã gửi 21-05-2005 - 00:24

@ Hatucdao: Bác bupbebe không nhầm đâu :)

Vấn đề chúng ta đang thảo luận là:

Câu hỏi: Xây dựng mở rộng Galois của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Q sao cho nhóm Galois của mở rộng đó là http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Q_8, http://dientuvietnam...imetex.cgi?S_n.


Vấn đề này thuộc về một lý thuyết mang tên Inverse Galois Problem. Nói nôm na lý thuyết này tìm cách giải quyết bài toán: Cho trước một nhóm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G, liệu có tồn tại (và nếu có, hãy xây dựng) một mở rộng Galois trên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Q nhận http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G làm nhóm Galois.

Sau khi google một hồi tớ tìm được một tài liệu tham khảo cho lý thuyết này: Generic Polynomials, constructive aspects of the Inverse Galois Problem, C. Jensen, A. Ledet, N. Yui. Không rõ có bản online của quyển sách này không, còn quyển sách tớ tìm được thư viện rất gọn nhẹ, sạch sẽ, và có vẻ dễ đọc :exists. Mới nhìn thoáng qua nhưng có thể nhận thấy quyển sách này trình bày rất chi tiết và đầy đủ về vấn đề trên, từ những nhóm rất cụ thể cho tới những nhóm tổng quát. Chắc chắn là có nói về http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Q_8, nhưng tớ chưa kịp đọc :in.

Như noproof có yêu cầu, tớ giới thiệu ra đây Hilbert Irreducibility Theorem và cách xây dựng nhóm Galois trên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Q là nhóm đối xứng.

1) Hilbert Irreducibility Theorem. Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?F là một trường số đại số và cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X là các biến). Khi đó tồn tại vô hạn các bộ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F và đồng thời

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q với nhóm Galois là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_n. Kí hiệuhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n biến http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q. Dùng lại kí hiệu của bài post trên kia của tớ với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F=Q. Khi đó trường bất động của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_n là là splitting field của



Hilbert Irreducibility Theorem khẳng định rằng tồn tại vô số sao cho

.

<span style='color:blue'>Thu đi để lại lá vàng
Anh đi để lại cho nàng thằng ku</span>

#20 Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Truyện Kim Dung và đội Arsenal

Đã gửi 21-05-2005 - 12:39

@ Hatucdao: Bác bupbebe không nhầm đâu :)

Vâng, em nhầm. Đúng là nhóm S_5 không giải được, nhưng nhóm này có tới 120 phần tử!!
Xin lỗi đã chen ngang, các bác tiếp tục đi.
Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh