Chủ đề này có 3 trả lời

[FOOL90]

Cho $(m,n)=1$ . Chứng minh với mọi $a $nguyên thì tồn tại $t $nguyên sao cho $(m+tn,a)=1$

Mong người giải đầu tiên có lời giải đầy đủ, sạch sẽ để khai trương thêm phần long trọng.

[lyxuansang91]

Cho $(m,n)=1$ . Chứng minh với mọi $a $nguyên thì tồn tại $t $nguyên sao cho $(m+tn,a)=1$

Mong người giải đầu tiên có lời giải đầy đủ, sạch sẽ để khai trương thêm phần long trọng.

Bây giờ ta xét với 1 số nguyên $a$ bất kỳ. Nếu $\gcd(a,n)=1$ thì chọn $k=a$. Nếu $\gcd(a,n)=d,d>1$. Giả sử $a=\prod_{i=1}^tp_i^{\alpha_i}.\prod_{j=1}^rq_j^{\beta_j}$, trong đó $p_i$ là các số nguyên tố chia hết $n, q_i$ là các số nguyên tố không chia hết $n $và $ \alpha_i,\beta_j$ là các số nguyên dương. Với mỗi $p_i$ chọn $k\equiv 1\bmod p_i $ và với mỗi $q_j$ chọn $k\vdots q_j $. Hiển nhiên $k$ tồn tại theo Định lý Phần dư Trung Hoa. Khi đó dễ thấy $\gcd(a,mk+n)=1$

[Primes]

Một bài áp dụng cái này :
Tìm tất cả các đa thức hệ nguyên sao cho với mọi $a,b\in Z$ nguyên tố cùng nhau ta đều có dãy $\{P(a_n+b)\}$ chứa một dãy vô hạn các số đôi một nguyên tố cùng nhau .

[FOOL90]

Cho $(m,n)=1$ ;
Chứng minh rằng với mọi $a$ bất kì , tồn tại $t$ nguyên dương sao cho $(m+tn,a)=1$

Giải
Bổ đề.
a) $(a+i.c,c)=(a,c) \forall a,i,c \in \mathbb{Z}$ .hiển nhiên .
b) Nếu $ (a,c) =1 \Rightarrow (a,c^i) =1 \forall a,c \in \mathbb{Z}; i \in Z^+$ .hiển nhiên .
c)Với mọi $p$ nguyên tố ,tồn tại $t \in Z^+ $sao cho : $(m+tn, p)=1$
$CM.c.$
Giả sử $(m+in,p) \neq 1 \forall i =\bar{1;p}$
Xét $p$ số $m+n ; m+2n;......;m+pn$
nếu $\no \exist i | m+in \equiv 1 (mod p) \Rightarrow \exist i,j | m+in \equiv m+jn (mod p)$
$\Rightarrow (i-j).n \vdots p \Rightarrow n \vdots p$ ( vì $0<|i-j| < p , p$ nguyên tố ) (1)
Lại có $(m+pn,p) \neq 1 \Rightarrow (m,p) \neq 1$ ( vì $(m+pn,p)=(m,p)$ )
$\Rightarrow m \vdots p$ (2)
Từ (1) (2)$ \Rightarrow (m,n) \neq 1$. Vô lí
Do đó tồn tại $m+tn \equiv 1(mod p)$ hoặc $(m+tn,p) =1$
Trong cả hai trường hợp này ta đều có : $(m+tn,p) =1$
Do vậy bổ đề được chứng minh.

Quay trở lại bài toán. Giả sử $a=\prod \limits _{i=1}^{k} p_i^{c_i}$
Theo bổ đề trên tồn tại $t_i $sao cho $(m+t_i .n , p_i)=1 \forall i=\bar{1;k}$
Theo định lí phần dư TRUNG HOA ,tồn tại $t$ thỏa mãn hệ đồng dư : $t \equiv t_i (mod p_i} \forall i=\bar{1;k}$
Khi đó ta chứng minh $(m+tn,a)=1$
Thật vậy Do $(m+tn,p_i)=(m+t_i.n ,p_i) = 1 \Rightarrow (m+tn,p_i^{c_i} )= 1 \forall i=\bar{1;k}$
Nên $(m+tn;a)=1$
ĐIỀU PHẢI CHỨNG MINH.

Chú ý : Cách chứng minh đã chỉ rõ 1 thuật toán tìm các số t như vậy.