Đến nội dung

Hình ảnh

$4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Duck_Pro

Duck_Pro

    Impossible = I'm Possible

  • Thành viên
  • 229 Bài viết

Biết đa thức $a x^{3} +a x^{2} +cx +d $ ($a \neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-12-2013 - 21:44

Hình đã gửi

#2
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Biết đa thức $a x^{3} +a x^{2} +cx +d $ ($a \neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?

Mình nghĩ đa thức là $a x^{3} +b x^{2} +cx +d $

Đặt $f(x)=a x^{3} +b x^{2} +cx +d$. $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$

$f''(x)=2(3ax+b)$

$f'''(x)=6a$

$\Rightarrow 2f(x).f''(x)-(f'(x))^{2}=g(x)$

$\Rightarrow g'(x)=2f'(x).f''(x)+2f(x).f'''(x)-2f'(x).f''(x)=2f(x).f'''(x)=12a^{2}(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$

$\alpha \neq \beta \neq \gamma$ và không mất tính tổng quát ta giả sử $\alpha < \beta < \gamma$

Kẻ bảng biến thiên ta có 3 giá trị của $g(x)$, đặt lần lượt là $g(\alpha ),g(\beta ),g(\gamma )$

Ta có: $g(\alpha ).g(\beta ).g(\gamma )< 0$

Nên phương trình cho ta hai nghiệm phân biệt.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 10-12-2013 - 20:50


#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết


Biết đa thức $a x^{3} +a x^{2} +cx +d $ ($a \neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?

Đề bài nên sửa lại :

Biết đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ ($a\neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt.Hỏi đa thức $4(ax^3+bx^2+cx+d)(3ax+b)-(3ax^2+2bx+c)^2$ có bao nhiêu nghiệm thực ?

 

Một cách giải khác :

Đặt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ; h(x)=f'(x)=3ax^2+2bx+c$ ;

Gọi 3 nghiệm phân biệt của $f(x)$ là $x_{1},x_{2},x_{3}$ ---> $ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$

Vì $f(x)$ có 3 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ nên các giao điểm của đồ thị của $f(x)$ với $Ox$ không phải là tiếp điểm ---> $h(x_{1}),h(x_{2}),h(x_{3})$ đều khác $0$ (*)

Đặt $g(x)=4(ax^3+bx^2+cx+d)(3ax+b)-(3ax^2+2bx+c)^2$ $\Rightarrow g'(x)=12a(ax^3+bx^2+cx+d)=12a^2(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$

$g'(x)=0\Leftrightarrow x=x_{1}$ hoặc $x=x_{2}$ hoặc $x=x_{3}$

---> Tung độ $3$ điểm cực trị là :

$g(x_{1})=-[h(x_{1})]^2< 0$ ; $g(x_{2})=-[h(x_{2})]^2< 0$ ; $g(x_{3})=-[h(x_{3})]^2< 0$ (vì $h(x_{1}),h(x_{2}),h(x_{3})\neq 0$)

Mặt khác $g(x)$ là hàm bậc bốn có dạng $Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$ với $A=3a^2> 0$ $\Rightarrow \lim_{x\rightarrow\ \pm \infty}g(x)=+\infty\Rightarrow$ đồ thị của $g(x)$ có $2$ cực tiểu, $1$ cực đại và đi lên xa vô tận về 2 phía (phải và trái).

Vì tung độ 3 điểm cực trị đều âm ---> $g(x)$ có đúng $2$ nghiệm thực phân biệt.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 11-12-2013 - 07:26

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
 

Đề bài nên sửa lại :

Biết đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ ($a\neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt.Hỏi đa thức $4(ax^3+bx^2+cx+d)(3ax+b)-(3ax^2+2bx+c)^2$ có bao nhiêu nghiệm thực ?

 

Một cách giải khác :

Đặt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ; h(x)=f'(x)=3ax^2+2bx+c$ ;

Thực ra là một cách giải thôi, vì bạn cũng sử dụng đạo hàm, còn cái bạn giải thích là bảng biến thiên. :)  :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 10-12-2013 - 22:15





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh