Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Duck_Pro

Duck_Pro

    Impossible = I'm Possible

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:EE2 BKHN

Đã gửi 02-03-2008 - 20:56

Biết đa thức $a x^{3} +a x^{2} +cx +d $ ($a \neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-12-2013 - 21:44

Hình đã gửi

#2 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 10-12-2013 - 20:31

Biết đa thức $a x^{3} +a x^{2} +cx +d $ ($a \neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?

Mình nghĩ đa thức là $a x^{3} +b x^{2} +cx +d $

Đặt $f(x)=a x^{3} +b x^{2} +cx +d$. $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$

$f''(x)=2(3ax+b)$

$f'''(x)=6a$

$\Rightarrow 2f(x).f''(x)-(f'(x))^{2}=g(x)$

$\Rightarrow g'(x)=2f'(x).f''(x)+2f(x).f'''(x)-2f'(x).f''(x)=2f(x).f'''(x)=12a^{2}(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$

$\alpha \neq \beta \neq \gamma$ và không mất tính tổng quát ta giả sử $\alpha < \beta < \gamma$

Kẻ bảng biến thiên ta có 3 giá trị của $g(x)$, đặt lần lượt là $g(\alpha ),g(\beta ),g(\gamma )$

Ta có: $g(\alpha ).g(\beta ).g(\gamma )< 0$

Nên phương trình cho ta hai nghiệm phân biệt.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 10-12-2013 - 20:50


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1909 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 10-12-2013 - 22:09



Biết đa thức $a x^{3} +a x^{2} +cx +d $ ($a \neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2} $ có bao nhiêu nghiệm ?

Đề bài nên sửa lại :

Biết đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ ($a\neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt.Hỏi đa thức $4(ax^3+bx^2+cx+d)(3ax+b)-(3ax^2+2bx+c)^2$ có bao nhiêu nghiệm thực ?

 

Một cách giải khác :

Đặt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ; h(x)=f'(x)=3ax^2+2bx+c$ ;

Gọi 3 nghiệm phân biệt của $f(x)$ là $x_{1},x_{2},x_{3}$ ---> $ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$

Vì $f(x)$ có 3 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ nên các giao điểm của đồ thị của $f(x)$ với $Ox$ không phải là tiếp điểm ---> $h(x_{1}),h(x_{2}),h(x_{3})$ đều khác $0$ (*)

Đặt $g(x)=4(ax^3+bx^2+cx+d)(3ax+b)-(3ax^2+2bx+c)^2$ $\Rightarrow g'(x)=12a(ax^3+bx^2+cx+d)=12a^2(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$

$g'(x)=0\Leftrightarrow x=x_{1}$ hoặc $x=x_{2}$ hoặc $x=x_{3}$

---> Tung độ $3$ điểm cực trị là :

$g(x_{1})=-[h(x_{1})]^2< 0$ ; $g(x_{2})=-[h(x_{2})]^2< 0$ ; $g(x_{3})=-[h(x_{3})]^2< 0$ (vì $h(x_{1}),h(x_{2}),h(x_{3})\neq 0$)

Mặt khác $g(x)$ là hàm bậc bốn có dạng $Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$ với $A=3a^2> 0$ $\Rightarrow \lim_{x\rightarrow\ \pm \infty}g(x)=+\infty\Rightarrow$ đồ thị của $g(x)$ có $2$ cực tiểu, $1$ cực đại và đi lên xa vô tận về 2 phía (phải và trái).

Vì tung độ 3 điểm cực trị đều âm ---> $g(x)$ có đúng $2$ nghiệm thực phân biệt.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 11-12-2013 - 07:26

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 10-12-2013 - 22:14

 

Đề bài nên sửa lại :

Biết đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ ($a\neq 0$) có 3 nghiệm thực phân biệt.Hỏi đa thức $4(ax^3+bx^2+cx+d)(3ax+b)-(3ax^2+2bx+c)^2$ có bao nhiêu nghiệm thực ?

 

Một cách giải khác :

Đặt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ; h(x)=f'(x)=3ax^2+2bx+c$ ;

Thực ra là một cách giải thôi, vì bạn cũng sử dụng đạo hàm, còn cái bạn giải thích là bảng biến thiên. :)  :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 10-12-2013 - 22:15





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh