Chưa có bài trả lời

[nguyen_hung]

Bài viết của VNMaths
TOÁN HỌC CỔ ẤN ĐỘ
(Trong loạt bài viết về Lịch sử Toán học sơ cấp)

Vì không có tài liệu xác thực nên người ta biết rất ít về nền toán học Ấn Độ cổ đại. Từ một thành phố cổ ở Mohenjo Daro khoảng 5000 năm trước với đường phố rộng rãi, nhà cửa có cả phòng tắm bằng gạch ngói lát gạch vuông cùng hệ thống tiêu nước đô thị và những hồ bơi công cộng cho thấy nền văn minh của cổ Ấn Độ đã đạt một trình độ cao như các nền văn minh khác ở Phương Đông . Họ đã có hệ thống chữ viết , tính toán , cân đong, đo lường , và họ có những kinh đào dùng cho việc tưới tiêu. Tất cả các loại đó đòi hỏi phải có một nền toán học cơ bản và đạt trình độ cao. Ấn Độ có công lớn khi phát minh ra số 0, số âm, hệ thống ghi số theo nguyên tắc vị trí và sáng tạo ra môn Đại số học.
Nền toán học cổ Ấn Độ nghiên về thuật tính. Họ ít quan tâm đế hệ thống lý luận suy diễn. Sở dĩ nền toán học Ấn Độ có khuynh hướng nghiên về thuật tính là vì nhu cầu kinh tế thương mại của đời sống xã hội. Việc buôn bán cổ xưa đã làm cho xã hội Ấn Độ cổ xưa quan tâm đến nguồn thu, doanh lợi, đến số liệu và tính toán.

Ngày nay, trên thế giới ở đâu cũng dùng 10 chữ số ( 0,1,..,9 ) để ghi các số lớn tuỳ ý: nguyên tắc ghi đơn giản và làm tính gọn và nhanh chóng. Ta thường gọi là chữ số Á Rập nhưng thực ra chúng có nguồn gốc ở Ấn Độ vào thế kỷ thứ I đến thứ V. Còn ở Châu Âu, cho mãi đến thế kỷ XIV vẫn dùng chữ số Latin, chữ số Hy Lạp v.v.. nên họ thực hiện phép nhân và chia rất phức tạp và phải có nhà chuyên môn mới thực hiện được. Người Á Rập đã phổ biến cách ghi số của Ấn Độ sang châu Âu, đánh dấu một bước tiến mới trong lịch sử phát triển trong số học và góp phần đẩy mạnh sự phát triển của toán học nói chung. Đánh giá sự đóng góp của Ấn Độ, nhà toán học Laplace đã nói : " Chúng ta càng khâm phục công trình của người Ấn Độ khi chúng ta nghĩ rằng hai thiên tài cổ Hy Lạp là Archimedes và Apollonius đã nghiên cứu mà không tìm ra được cách ghi số tốt nhất ". Với Archimedes và Apollonius thì cách ghi số đã tiến gần đến nguyên tắc ghi ngày nay : chia ra từng nhóm 108 một, ở giữa các nhóm có một dấu chấm. Do đó có thể ghi số lớn bao nhiêu cũng được, nhưng vẫn rắc rối, tính toán trên giấy rất khó khăn . Khi tìm ra phương pháp ghi này Archimedes đã viết một quyển sách, trong đó ông nói : " Ta có thể viết được con số lớn hơn tất cả số hạt cát trong vũ trụ cộng lại ".

Vào các thế kỷ V-XII toán học Ấn Độ phát triển mạnh nhất với

Aryabhatas, Brahmagupta, Mahavira và Bhaskara.

Aryabhatas thành đạt vào thế kỷ thứ VI, sinh tại vùng Patna ngày nay trên vùng sông Hằng. Ông có viết một công trình về thiên văn học trong đó có chương thứ ba dành cho toán học. Có đề cập đến các quy tắc của toán học sơ cấp : số học, hình học và tam giác lượng.

Brahmagupta là nhà toán học Ấn độ lỗi lạc nhất vào thế kỷ thứ VII. Ông đã sống và làm việc tại trung tâm thiên văn học Ujjain ở Trung Ấn. Năm 628 ông viết cuốn Brahma -sphuta-siddhanta, một công trình thiên văn học gồm 21 chương trong đó chương 12 dành cho số học và hình học và chương 18 bàn về đại số và phương trình vô định.

Mahavira thành đạt vào khoảng năm 850, là người nam Ấn. Ông cũng viết về toán học sơ cấp .

Công trình của Bhaskara, Siddhanta Sirimani, viết năm 1150 cho thấy nhiều tiến bộ hơn so với công trình của Brahmagupta trên 500 về trước. Nhưng ông có hai tác phẩm với nội dung toán học lớn là Lilavati("cái đẹp") và Vijaganita ( " số học hạt") nói về số học và đại số học.

Lilavati được viết bằng thơ gồm các vấn đề sau đây : 1) Khoa đo lường, 2) Tính các số nguyên, 3) Phép nghịch đảo, 4) Toán về các hỗn hợp và vòi nước chảy, 5) Lấy tổng các chuỗi , 6) Hình học phẳng, 7-11) Phép tính các loại thể tích khác nhau, 12) Các bài toán giải tích vô định, 13) Các bài toán giải tích tổ hợp .

Vijaganita gồm 8 vấn đề : 1) Phép tính các số dương và các số âm, 2-3) Phương trình vô định bậc một và bậc hai, 4) Phương trình đại số tuyến tính, 5) Phương trình bậc hai, 6) Hệ thống phương trình tuyến tính, 7-8) Các vấn đề phương trình vô định bậc hai .

Tính toán trên các số của Ấn Độ.

Phép cộng Ấn Độ thời cổ có lẽ được thực hiện từ trái sang phải thay vì từ phải sang trái như chúng ta làm ngày nay. Ví dụ như xem phép cộng 345 với 488 . Các số này có lẽ được viết số nọ dưới số kia xuống phía dưới một chút ở bản tính như hình minh hoạ dưới đây :

8 3

7 2 3

3 4 5

4 8 8

Người làm tính sẽ nói 3+4=7 và viết 7 lên trên đầu cột bên trái. Tiếp đó, 4+8=12 , điều này sẽ đổi số 7 thành số 8 và theo sau là số 2. Vì vậy số 7 phải xoá đi và viết vào đó là số 82. Trong hình minh hoạ ở trên chúng ta đã xoá số 7 và viết số 8 lên trên đó. Rồi đến 5+8=13, điều này phải đổi 2 thành 3 và theo sau là một số 3 khác. Và mọi thứ lại được điều chỉnh bằng cách xoá nhanh bằng ngón tay và kết quả cuối cùng là 833 xuấthiện phía trên của bàn tính. Đến lúc đó thì các số 345 và 488 có thể xoá đi được và bản trống còn lại sẽ được dùng tiếp.

Nhiều phương pháp được dùng cho phép nhân, ví dụ 569 nhân với 5 có minh hoạ như sau :

8 4

2 5 0 5

5 6 9 5

Trên bản, viết xuống phía dưới một chu 569 tiếp theo là số nhân 5 trên cùng một hàng. Rồi nhân 5.5=25 nên 25 được viết ngay trên số 569. Tiếp đó, 5.6=30, đổi 5 trong 25 thành 8 và theo sau là sô 0. Xoá và làm như vậy rất nhanh .Trong hình minh hoạ, thay vì như vậy ta xoá số 5 viết ngay số 8 lên phía trên nó. Rồi 5.9=45, điều này đổi số 0 thành số 4 và tiếp theo là số 5. Tích cuối cùng 2845 xuất hiện phía trên của bản tính .

Một phép nhân phức tạp hơn, chẳng hạn 135 nhân cho 12, có thể thực hiện bằng cách như trên : đầu tiên, tìm 135 . 4 = 540, sau đó tìm 540 . 3= 1620 hoặc bằng cách cộng 135.10=1350 với 135.2=270 ta được 1620.

Một phương pháp làm tính nhân khác được biết là của người Á rập và có lẽ có được từ người Ấn Độ, nó rất giống với cách ta làm hiện nay được trình bày trong hình minh hoạ cho việc tìm tích của hai số 135 với 12. Sơ đồ được vẽ ra và các phép cộng được tiến hành theo đường chéo .

1 3 5

1 3 5 1

1

2 6 0 2

1 6 2 0