Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức dành cho các em chuẩn bị thi đại học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 70 trả lời

#41 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 14-09-2010 - 12:27

ta sẽ CM A (*) 3 + 5/3
thật vậy ta có : $6 - 2(xy+yz+zx) = \sum{(y-z)^2}$
và $\dfrac{5}{x+y+z} - \dfrac{5}{3} = \dfrac{5}{3(x+y+z)}(3 - (x+y+z)) = \dfrac{5}{3t(3+t)}(9-t^2} = \dfrac{5(\sum{(y-z)^2}}{3t(t+3)}$ voi t = x+y+z
như vậy ta cần CM: $\dfrac{\sum{(y-z)^2}}{2} \ge \dfrac{5(\sum{(y-z)^2}}{3t(t+3)}$
do $\sum{(y-z)^2} \ge 0$ nên ta chỉ cần Cm:
3t(3+t) (*) 10
chú ý: $t^2 = x^2+y^2+z^2+ 2(xy+yz+zx) \ge 3 => t \ge \sqrt{3}$
nhue vậy hiển nhiên 3t(3+t) :D 10
vậy BDT được CM:
kl: $max A = \dfrac{14}{3} <=> x=y=z=1$

rongden_167


#42 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 14-09-2010 - 12:41

uhm, bài này có thể giải bằng một lời giải đại số :
đặt t= x+y+z
ta có $2A + 3 = 3+ 2(xy+yz+zx) + \dfrac{10}{x+y+z} = t^2 + \dfrac{10}{t}$
ta sẽ Cm: $A \le \dfrac{14}{3} => 3 + 2A \le \dfrac{37}{3}$
hay : $3t^2 - 37t + 30 \le 0 <=> (t - 3)(3t^2 + 9t -10)$
hiển nhiên $t^3 = (x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2) = 9 => t \le 3$
=> cần Cm: $3t^2 + 9t - 10 \ge 0$ => hoàn toàn tương tự như trên ?????

p/s: không ngờ 2 cách khác nhau mà lại cho 1 BDT cuối cùng giống nhau ???

rongden_167


#43 thuylinhbg

thuylinhbg

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:bắc giang
  • Sở thích:thjk làm người khác bực mình

Đã gửi 14-09-2010 - 15:10

mình hem thấy nut thanks đâu hít ấy. bài nè đơn giản hơn ta dùng kshs (lại thêm rất nhìu hàm ks) sau đây mình xin đưa thêm 1 cách làm ks:
A $ \leq $ $ \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$ +$ \dfrac{5}{x+y+z}$ = $ \dfrac{t^2}{3}+\dfrac{5}{t}=y$
ta sẽ ks hàm $y=\dfrac{t^2}{3}+\dfrac{5}{t}$ với $t \in (1;3]$ (ta có giả sử x =max{x;y;z} ta có $x \geq 1$ do đó t>1 vì y+z>0)
(ta cũng có thể giới hạn hơn trong $[ \sqrt{3} ;3]$ vì $t^2=(x+y+z)^2 \geq x^2+y^2+z^2$ )
ks hàm xong ta sẽ nhận đc kq là max $y=y(3)=\dfrac{14}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinhbg: 14-09-2010 - 15:14

tương lai sẽ là sinh viên đại học khoa học tự nhiên [email protected]@

#44 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 14-09-2010 - 20:45

uhm cách bạn tuy đơn giản nhưng nó là một đánh giá hơi "quá mạnh tay", không tin bạn thử với bài mạnh hơn này xem sao ???
cho x,y,z (*) 0 tm : $x^2+y^2+z^2 = 3.$
tìm GTLN của biểu thức:
$A = (xy+yz+zx) + \dfrac{12}{x+y+z}$

p/s: thử đi bạn, như thế mới xứng làm đề ĐH ( không khó nhưng càn một đánh giá đơn giản ???)

rongden_167


#45 thuylinhbg

thuylinhbg

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:bắc giang
  • Sở thích:thjk làm người khác bực mình

Đã gửi 15-09-2010 - 02:14

uhm cách bạn tuy đơn giản nhưng nó là một đánh giá hơi "quá mạnh tay", không tin bạn thử với bài mạnh hơn này xem sao ???
cho x,y,z :leq 0 tm : $x^2+y^2+z^2 = 3.$
tìm GTLN của biểu thức:
$A = (xy+yz+zx) + \dfrac{12}{x+y+z}$

p/s: thử đi bạn, như thế mới xứng làm đề ĐH ( không khó nhưng càn một đánh giá đơn giản ???)

mình nói bài nè nhìu cách ks mà. bạn có thể biến đổi $A=\dfrac{(x+y+z)^2-3}{2}+\dfrac{5}{x+y+z}$ rùi ks hàm số nè mà:-?
tương lai sẽ là sinh viên đại học khoa học tự nhiên [email protected]@

#46 thuylinhbg

thuylinhbg

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:bắc giang
  • Sở thích:thjk làm người khác bực mình

Đã gửi 15-09-2010 - 02:17

bài của bạn cũng biến đổi về $y=\dfrac{t^2-3}{2}+\dfrac{12}{t}$
với t=x+y+z rùi giới hạn cho t. ta cũng có thể giới hạn $t \in [-3;1)$ hoặc $[-3, -\sqrt3]$ tùy ý.
nếu mình tính toán hem lầm thì Max=-1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinhbg: 15-09-2010 - 02:21

tương lai sẽ là sinh viên đại học khoa học tự nhiên [email protected]@

#47 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 15-09-2010 - 15:33

yhm, thế thì bạn nhầm rồi à ????
rõ ràng x, y, z không âm => dĩ nhiên A > 0 thì làm gì mà max = -1 được ??
bài này thực chất mình làm mạnh từ bài của bạn post trên thôi ???
ý mình là muốn chứng minh cho bạn thấy cái đánh giá trên của bạn là hơi mạnh ???

p/s: mình chưa học mấy cái khảo sát đánh giá gì đó ở trên nên không hiểu bạn vieets gì lắm ??
theo mình thì cứ nhận xét đẳng thức xảy ra khi nào => dự đoán max = 7 => ta sẽ Cm: A :-? 7 => thế là được thôi ????

rongden_167


#48 khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HV TÀI CHÍNH

Đã gửi 21-09-2010 - 23:03

Ai làm ơn giải kĩ vào hộ em bài này với em dố bất đẳng thức lắm!!!!!>.<
cho x, y ,z là 3 số dương thỏa mãn $xyz=1$. chứng minh rằng
$ \dfrac{ x^{2} }{1+y}+ \dfrac{y^{2} }{1+z}+ \dfrac{z^{2} }{1+x} \ge \dfrac{3}{2}$

đề thi những năm trước thì chỉ cần dùng điểm rơi là được đi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 19:31

"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#49 Trần Lê Văn

Trần Lê Văn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Đã gửi 26-11-2010 - 21:22

Tiếp:
1. Cho các số thực x,y,z, tìm min của: $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}$

2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $




1)$ x^2+xy+y^2 = \dfrac{3(x+y)^2}{4} + \dfrac{1(x-y)^2}{4} \geq \dfrac{3(x+y)^2}{4}$
$ \Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2} \geq \dfrac{ \sqrt{3}(x+y) }{2}$
Cmtt vs 2 cai' kia thi` ra dc min thui

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 19:32
Latex


#50 dante_dmc4

dante_dmc4

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Đã gửi 25-12-2010 - 17:19

Tiếp:
1. Cho các số thực x,y,z, tìm min của: $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}$

2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $


bài 1 không có ĐK $x;y;z$ à

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 19:33
Latex


#51 lehaison_math

lehaison_math

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chyên Hưng Yên
  • Sở thích:đá bóng,xem phim,làm toán

Đã gửi 31-12-2010 - 22:35

Cả 2 bài chỉ cần dùng mincốpski là song

File gửi kèm


Gâu Gâu Gâu

#52 harrypotter10a1

harrypotter10a1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Son Tay Ha Tinh

Đã gửi 27-04-2011 - 19:35

Tiếp:
1. Cho các số thực x,y,z, tìm min của: $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}$

2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $


Bài 1 hình như thiếu đề thì phải
Bài 2: từ gt $\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$
Ta có:$ \sqrt{ b^{2}+2 a^{2} }\ge\dfrac{ b+2a}{\sqrt{3}}$.. Biến đổi tí nữa là ổn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 19:34

hic...hic....hihi...

#53 go out

go out

    Bụi đời

  • Thành viên
  • 165 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đến từ đâu à?? Ôi!... Mất vệ sinh lắm ^^!
  • Sở thích:Tán gái ;))

Đã gửi 03-05-2011 - 03:27

Nhân đây tạo thêm box mới cho mùa thi TSDH năm 2008

Hai bài toán trong đề dự bị đại học ; tuy nhiên học sinh THCS thì thấy 2 bài toán này chắc ngỡ ngàn lắm vì nó chẳng phù hợp với thi đại học

Bài 1 : Cho x;y là hai số dương . CMR: $( 1 +x)(1+\dfrac{y}{x})(1+\dfrac{9}{\sqrt{y}})^2 \ge 256 $

Bài 2 : Cho x;y là hai số dương thỏa mãn$ x + y = \dfrac{5}{4}. CMR: \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}4y \ge 5 $

em thầy đề ĐH càng ngày càng dễ xơi thầy à :delta ko biết đến lúc em nó có mở cổng cho mình vào luôn hay ko :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 19:35

ìKhi bạn đúng,
Bạn có thể giữ được sự bình tĩnh của bạn;
Còn khi bạn sai,
Bạn không thể để mất sự bình tĩnh đó”.

#54 Momochan

Momochan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • Đến từ:Đông Anh - Hà Nội
  • Sở thích:Ăn ngủ nghỉ chơi và được Ume vuốt ve :P

Đã gửi 03-05-2011 - 22:54

Tiếp:
1. Cho các số thực a,b,c thỏa a+b+c=3 tìm min của: $\sqrt{a^2+ab+c^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}$

2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $


1) $A= \sqrt{a^2+ab+c^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}$

$= \sqrt{(a+\dfrac{b}{2})^2+(\dfrac{b\sqrt{3}}{2})^2}+\sqrt{(b+\dfrac{c}{2})^2+(\dfrac{c\sqrt{3}}{2})^2}+\sqrt{(c+\dfrac{a}{2})^2+(\dfrac{a\sqrt{3}}{2})^2}$

$\geq \sqrt{(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2})^2+[\dfrac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)]^2}=3\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra tại $a=b=c=1$

Vậy $MinA=3\sqrt{3} \Leftrightarrow a=b=c=1$

2) Đặt $a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}$

Sau đó sử dụng Bunhiacoxky hoặc phương pháp vectơ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 19:35

"I love walking in the rain cause no one can see me crying" - Rowan Atkinson

#55 le nhat truong

le nhat truong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-06-2011 - 20:44

Tiếp:
1. Cho các số thực x,y,z, tìm min của: $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}$

2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $


em còn kém bdt lắm.e giải bài 2 như thế này có sai ở chỗ nào anh ,chị chỉ dùm

$VT bdt =\dfrac{ \sqrt{b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}+\sqrt{a^{2}c^{2}+2b^{2}a^{2}}+\sqrt{a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}}}{abc}$

$ = \dfrac{ \sqrt{(81+162)(b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})} + \sqrt{(81+162)(a^{2}c^{2}+2b^{2}a^{2})} + \sqrt{(81+162)(a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}})}{\sqrt{243} abc}$
áp dung bdt cauchy-schwarz,

$\geq \dfrac{27(ab+bc+ca)}{\sqrt{243} abc} = \dfrac{27abc}{\sqrt{243} abc}= \sqrt{3}$

dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow a=b=c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le nhat truong: 05-06-2011 - 21:46


#56 Tạ Hồng Quảng

Tạ Hồng Quảng

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Đã gửi 29-06-2011 - 11:54

a, b, c dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
$\dfrac{a^4}{a^3+3b^3}+\dfrac{b^4}{b^3+3c^3}+\dfrac{c^4}{c^3+3a^3}\geq \dfrac{1}{4}$

#57 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1465 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1 K46 Tổng hợp

Đã gửi 24-07-2011 - 16:31

a, b, c dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
$\dfrac{a^4}{a^3+3b^3}+\dfrac{b^4}{b^3+3c^3}+\dfrac{c^4}{c^3+3a^3}\geq \dfrac{1}{4}$

Bài này dùng Kĩ thuật đánh giá phủ định của phủ định!
Theo BĐT AM-GM
Ta có :$\dfrac{a^4}{a^3+3b^3}=a-\dfrac{3ab^3}{a^3+3b^3}\ge a-\dfrac{3\sqrt[4]{ab^3}}{4}\ge \dfrac{13a-9b}{16}$
Tương tự ta có các BĐT như vậy rùi cộng lại là ra!
Một bài Típ!
Let a,b,c are three positive numbers.Prove that:
$\dfrac{(a+b+c)^3}{abc}+(\dfrac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2})^2 \ge 28$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 24-07-2011 - 16:35

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 

94e8dcf4f558448c8c8e808278c0c65e.0.gif


#58 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-08-2011 - 10:59

a, b, c dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
$\dfrac{a^4}{a^3+3b^3}+\dfrac{b^4}{b^3+3c^3}+\dfrac{c^4}{c^3+3a^3}\geq \dfrac{1}{4}$



Có thể giải bằng chọn điểm rơi không, vì ý tưởng tự nhiên hơn!
$\dfrac{a^4}{a^3+3b^3}+\dfrac{9(a^3+3b^3)}{16}\ge \dfrac{3}{2}a^2$
$\Rightarrow VT \ge \dfrac{3}{2}(a^2+b^2+c^2) - \dfrac{9}{4}(a^3+b^3+c^3)$
Sau đó ta chỉ cần nói được:
$a^2+b^2+c^2 \ge \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2=\dfrac{1}{3}$
$a^3+b^3+c^3 \le a+b+c = 1$
Như vậy xong rồi nhỉ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 02-10-2011 - 17:50


#59 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 18-08-2011 - 14:18

Một bài Típ!
Let a,b,c are three positive numbers.Prove that:
P=$\dfrac{(a+b+c)^3}{abc}+\dfrac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \ge 28$

Mình nghĩ đề phải như trên.

Với x, y, z là các số thực dương ta có các BĐT:

$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\,\,\,(1)$

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{{x + y + z}}\,\,\,(2)$

$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx\,\,\,(3)$

Dấu "=" xảy ra ở (1), (2), (3) $\Leftrightarrow x = y = z$

Áp dụng các BĐT (1), (2), (3) vào bài toán ta có:

$P = \dfrac{{ab + bc + ca}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \left( {a + b + c} \right)^2 \left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}} \right) \ge $

$\ge \dfrac{{ab + bc + ca}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right).\dfrac{9}{{ab + bc + ca}} + 18$

$= \left( {\dfrac{{ab + bc + ca}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \dfrac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{ab + bc + ca}}} \right) + \dfrac{{8\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)}}{{ab + bc + ca}} + 18$

$\ge 2 + 8 + 18 = 28$. (đpcm)


Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

#60 PRONOOBCHICKENHANDSOME

PRONOOBCHICKENHANDSOME

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-10-2011 - 15:19

Cho các số thực dương $a,b,c > 0 $ thoả mãn $abc+a+c=b$ . Tìm GTLN của biểu thức

$P = \dfrac{2}{a^2+1}-\dfrac{2}{b^2+1}+\dfrac{3}{c^2+1}$

$abc+a+c=b\Rightarrow ac + \dfrac{a}{b} +\dfrac{c}{b} =1$
$a,b,c>0 \Rightarrow \exists A,B,C \in (0; \pi) : A+B+C = \pi ; a=tan \dfrac{A}{2} , \dfrac{1}{b} = tan \dfrac{B}{2} , c=tan \dfrac{C}{2}$
...
$\Rightarrow P= -3sin^{2}\dfrac{C}{2} +2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A-B}{2} +3$
$= -3(sin\dfrac{C}{2} -\dfrac{1}{3}cos\dfrac{A-B}{2})^2 + \dfrac{1}{3}cos^2\dfrac{A-B}{2}+3$
$\le \dfrac{1}{3}cos^2\dfrac{A-B}{2}+3$
$\le \dfrac{1}{3} +3 = \dfrac {10}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 02-10-2011 - 15:23





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh