Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức dành cho các em chuẩn bị thi đại học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 70 trả lời

#61 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 06-01-2012 - 16:11

Đây là câu trong đề dự bị năm 2010.

Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương . Tìm GTLN của biểu thức:
\[P = \dfrac{{\sqrt {yz} }}{{x + 2\sqrt {yz} }} + \dfrac{{\sqrt {xz} }}{{y + 2\sqrt {xz} }} + \dfrac{{\sqrt {xy} }}{{z + 2\sqrt {xy} }}\]

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#62 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 06-01-2012 - 17:19

Đây là câu trong đề dự bị năm 2010.

Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương . Tìm GTLN của biểu thức:
\[P = \dfrac{{\sqrt {yz} }}{{x + 2\sqrt {yz} }} + \dfrac{{\sqrt {xz} }}{{y + 2\sqrt {xz} }} + \dfrac{{\sqrt {xy} }}{{z + 2\sqrt {xy} }}\]


2P$= 3-\sum \dfrac{x}{x+{2\sqrt{yz}}}\leq 3-\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}=2$(AM-GM)
$\Rightarrow P\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z

#63 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 06-01-2012 - 21:59

Một bài nữa cho anh em chém.
Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh rằng: $$V=\dfrac{a+b+c}{a^2+abc}+\dfrac{a+b+c}{b^2+abc}+\dfrac{a+b+c}{c^2+abc}\geq \dfrac{9}{2}$$

(Đề thi thử trường THPT chuyên Nguyễn Huệ)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 06-01-2012 - 21:59

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#64 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 07-01-2012 - 17:52

Từ giả thiết ta có: $a+b+c=3\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow 1\geq abc$
Do đó: $V\geq (a+b+c)(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1})$
$=3(1-\dfrac{a^2}{a^2+1}+1-\dfrac{b^2}{b^2+1}+1-\dfrac{c^2}{c^2+1})\geq 3(1-\dfrac{a^2}{2a}+1-\dfrac{b^2}{2b}+1-\dfrac{c^2}{2c})=3[3-(\dfrac{a+b+c}{2})]=9-\dfrac{9}{2}=\dfrac{9}{2}$ (đpcm)
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#65 tkvn

tkvn

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 14-04-2012 - 05:25

Mình nghĩ đề phải như trên.

Với x, y, z là các số thực dương ta có các BĐT:

$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\,\,\,(1)$

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{{x + y + z}}\,\,\,(2)$

$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx\,\,\,(3)$


Dấu "=" xảy ra ở (1), (2), (3) $\Leftrightarrow x = y = z$

Áp dụng các BĐT (1), (2), (3) vào bài toán ta có:

$P = \dfrac{{ab + bc + ca}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \left( {a + b + c} \right)^2 \left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}} \right) \ge $

$\ge \dfrac{{ab + bc + ca}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right).\dfrac{9}{{ab + bc + ca}} + 18$

$= \left( {\dfrac{{ab + bc + ca}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \dfrac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{ab + bc + ca}}} \right) + \dfrac{{8\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)}}{{ab + bc + ca}} + 18$

$\ge 2 + 8 + 18 = 28$. (đpcm)


Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Ngoài cách này ta có thể làm như sau: $$VT \ge \dfrac{(a+b+c)^3}{27abc}+\dfrac{(a+b+c)^3}{27abc}+\dfrac{27(ab+bc+ca)^3}{(a+b+c)^6}+\dfrac{25(a+b+c)^3}{27abc}$$ $$ \ge 3.\sqrt[3]{\dfrac{(ab+bc+ca)^3}{27(abc)^2}}+25 \ge 3+25=28$$

#66 dungmathpro

dungmathpro

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quang tri
  • Sở thích:soccer and math

Đã gửi 27-04-2012 - 18:39

Giai:
ta co
$\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}=\sqrt{}\frac{{b^2+2a^2}}{a^2b^2}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}}$
tuong tu
dat $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\Rightarrow x+y+z=1$
ta co
$3(x^2+2y^2)\geq (x+2y)^2\Rightarrow \sqrt{x^2+2y^2}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}(x+2y)$
tuong tu cong lai ta dc
P$P\geq \frac{1}{\sqrt{3}}(3x+3y+3z)=\sqrt{3}$

#67 khangdx

khangdx

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2012 - 11:46

Cho $a, b, c \geq 0$ và a2 + b2 + c2 = 3. Tìm GTNN của P với
$P = \frac{a^{3}}{\sqrt{1 + b^{2}}} + \frac{b^{3}}{\sqrt{1 + c^{2}}} + \frac{c^{3}}{\sqrt{1 + a^{2}}}$

Cám ơn mọi người!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khangdx: 08-06-2012 - 11:57


#68 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 08-06-2012 - 11:59

Cho $a, b, c \geq 0$ và a2 + b2 + c2 = 3. Tính GTNN của P với
$P = \frac{a^{3}}{\sqrt{1 + b^{2}}} + \frac{b^{3}}{\sqrt{1 + c^{2}}} + \frac{c^{3}}{\sqrt{1 + a^{2}}}$

Cám ơn mọi người!


Theo $cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:

\[P = \frac{{{a^3}}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \frac{{{b^3}}}{{\sqrt {1 + {c^2}} }} + \frac{{{c^3}}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{\sum {\sqrt {\frac{{2{a^2}\left( {1 + {b^2}} \right)}}{2}} } }} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\sum {\left( {2{a^2} + {b^2} + 1} \right)} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoàng Quốc việt: 08-06-2012 - 12:00


#69 khangdx

khangdx

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2012 - 12:53

Theo $cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:

\[P = \frac{{{a^3}}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \frac{{{b^3}}}{{\sqrt {1 + {c^2}} }} + \frac{{{c^3}}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{\sum {\sqrt {\frac{{2{a^2}\left( {1 + {b^2}} \right)}}{2}} } }} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\sum {\left( {2{a^2} + {b^2} + 1} \right)} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\]


Bạn chưa xét đến trường hợp có một hoặc hai trong 3 số a, b, c bằng 0.

#70 khangdx

khangdx

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-06-2012 - 18:09

Mọi người làm tiếp 2 bài giúp mình:
1. Cho x, y, z ≥ 0. Tìm min A
$A =(xy + yz + zx)(\frac{1}{(x-y)^{2}} + \frac{1}{(y-z)^{2}} + \frac{1}{(z-x)^{2}})$

2. a, b ,c > 0. a + b + c =1. Tìm max P:
$P = (a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khangdx: 12-06-2012 - 20:09


#71 dangerousnicegirl

dangerousnicegirl

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 20-06-2012 - 07:58

3. cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thoả mãn :
$9(a^{4} +b^{^{4}}+c^{^{4}})-25(a^{2} +b^{^{2}}+c^{^{2}})+48= 0$
Tìm GTNN của :
$\frac{a^{2}}{2b+c}+\frac{b^{2}}{2c+a}+\frac{c^{2}}{2a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 09-07-2012 - 13:03





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh