Bất đẳng thức dành cho các em chuẩn bị thi đại học
#61
Đã gửi 06-01-2012 - 16:11
Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương . Tìm GTLN của biểu thức:
\[P = \dfrac{{\sqrt {yz} }}{{x + 2\sqrt {yz} }} + \dfrac{{\sqrt {xz} }}{{y + 2\sqrt {xz} }} + \dfrac{{\sqrt {xy} }}{{z + 2\sqrt {xy} }}\]
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#62
Đã gửi 06-01-2012 - 17:19
Đây là câu trong đề dự bị năm 2010.
Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương . Tìm GTLN của biểu thức:
\[P = \dfrac{{\sqrt {yz} }}{{x + 2\sqrt {yz} }} + \dfrac{{\sqrt {xz} }}{{y + 2\sqrt {xz} }} + \dfrac{{\sqrt {xy} }}{{z + 2\sqrt {xy} }}\]
2P$= 3-\sum \dfrac{x}{x+{2\sqrt{yz}}}\leq 3-\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}=2$(AM-GM)
$\Rightarrow P\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z
- Ispectorgadget, vietfrog và Poseidont thích
#63
Đã gửi 06-01-2012 - 21:59
Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh rằng: $$V=\dfrac{a+b+c}{a^2+abc}+\dfrac{a+b+c}{b^2+abc}+\dfrac{a+b+c}{c^2+abc}\geq \dfrac{9}{2}$$
(Đề thi thử trường THPT chuyên Nguyễn Huệ)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 06-01-2012 - 21:59
- HÀ QUỐC ĐẠT yêu thích
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#64
Đã gửi 07-01-2012 - 17:52
Do đó: $V\geq (a+b+c)(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1})$
$=3(1-\dfrac{a^2}{a^2+1}+1-\dfrac{b^2}{b^2+1}+1-\dfrac{c^2}{c^2+1})\geq 3(1-\dfrac{a^2}{2a}+1-\dfrac{b^2}{2b}+1-\dfrac{c^2}{2c})=3[3-(\dfrac{a+b+c}{2})]=9-\dfrac{9}{2}=\dfrac{9}{2}$ (đpcm)
- vietfrog, Tham Lang và HÀ QUỐC ĐẠT thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#65
Đã gửi 14-04-2012 - 05:25
Ngoài cách này ta có thể làm như sau: $$VT \ge \dfrac{(a+b+c)^3}{27abc}+\dfrac{(a+b+c)^3}{27abc}+\dfrac{27(ab+bc+ca)^3}{(a+b+c)^6}+\dfrac{25(a+b+c)^3}{27abc}$$ $$ \ge 3.\sqrt[3]{\dfrac{(ab+bc+ca)^3}{27(abc)^2}}+25 \ge 3+25=28$$Mình nghĩ đề phải như trên.
Với x, y, z là các số thực dương ta có các BĐT:
$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\,\,\,(1)$
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{{x + y + z}}\,\,\,(2)$
$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx\,\,\,(3)$
Dấu "=" xảy ra ở (1), (2), (3) $\Leftrightarrow x = y = z$
Áp dụng các BĐT (1), (2), (3) vào bài toán ta có:$P = \dfrac{{ab + bc + ca}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \left( {a + b + c} \right)^2 \left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}} \right) \ge $
$\ge \dfrac{{ab + bc + ca}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right).\dfrac{9}{{ab + bc + ca}} + 18$
$= \left( {\dfrac{{ab + bc + ca}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \dfrac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{ab + bc + ca}}} \right) + \dfrac{{8\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)}}{{ab + bc + ca}} + 18$
$\ge 2 + 8 + 18 = 28$. (đpcm)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$
- NguyThang khtn yêu thích
#66
Đã gửi 27-04-2012 - 18:39
ta co
$\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}=\sqrt{}\frac{{b^2+2a^2}}{a^2b^2}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}}$
tuong tu
dat $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\Rightarrow x+y+z=1$
ta co
$3(x^2+2y^2)\geq (x+2y)^2\Rightarrow \sqrt{x^2+2y^2}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}(x+2y)$
tuong tu cong lai ta dc
P$P\geq \frac{1}{\sqrt{3}}(3x+3y+3z)=\sqrt{3}$
- NguyThang khtn yêu thích
#67
Đã gửi 08-06-2012 - 11:46
$P = \frac{a^{3}}{\sqrt{1 + b^{2}}} + \frac{b^{3}}{\sqrt{1 + c^{2}}} + \frac{c^{3}}{\sqrt{1 + a^{2}}}$
Cám ơn mọi người!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khangdx: 08-06-2012 - 11:57
Phật thủ và những điều cần biết
#68
Đã gửi 08-06-2012 - 11:59
Cho $a, b, c \geq 0$ và a2 + b2 + c2 = 3. Tính GTNN của P với
$P = \frac{a^{3}}{\sqrt{1 + b^{2}}} + \frac{b^{3}}{\sqrt{1 + c^{2}}} + \frac{c^{3}}{\sqrt{1 + a^{2}}}$
Cám ơn mọi người!
Theo $cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:
\[P = \frac{{{a^3}}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \frac{{{b^3}}}{{\sqrt {1 + {c^2}} }} + \frac{{{c^3}}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{\sum {\sqrt {\frac{{2{a^2}\left( {1 + {b^2}} \right)}}{2}} } }} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\sum {\left( {2{a^2} + {b^2} + 1} \right)} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoàng Quốc việt: 08-06-2012 - 12:00
#69
Đã gửi 08-06-2012 - 12:53
Theo $cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:
\[P = \frac{{{a^3}}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \frac{{{b^3}}}{{\sqrt {1 + {c^2}} }} + \frac{{{c^3}}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{\sum {\sqrt {\frac{{2{a^2}\left( {1 + {b^2}} \right)}}{2}} } }} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\sum {\left( {2{a^2} + {b^2} + 1} \right)} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\]
Bạn chưa xét đến trường hợp có một hoặc hai trong 3 số a, b, c bằng 0.
Phật thủ và những điều cần biết
#70
Đã gửi 12-06-2012 - 18:09
1. Cho x, y, z ≥ 0. Tìm min A
$A =(xy + yz + zx)(\frac{1}{(x-y)^{2}} + \frac{1}{(y-z)^{2}} + \frac{1}{(z-x)^{2}})$
2. a, b ,c > 0. a + b + c =1. Tìm max P:
$P = (a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khangdx: 12-06-2012 - 20:09
Phật thủ và những điều cần biết
#71
Đã gửi 20-06-2012 - 07:58
$9(a^{4} +b^{^{4}}+c^{^{4}})-25(a^{2} +b^{^{2}}+c^{^{2}})+48= 0$
Tìm GTNN của :
$\frac{a^{2}}{2b+c}+\frac{b^{2}}{2c+a}+\frac{c^{2}}{2a+b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 09-07-2012 - 13:03
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh