Chủ đề này có 70 trả lời

[h.vuong_pdl]

ta sẽ CM A 3 + 5/3
thật vậy ta có : $6 - 2(xy+yz+zx) = \sum{(y-z)^2}$
và $\dfrac{5}{x+y+z} - \dfrac{5}{3} = \dfrac{5}{3(x+y+z)}(3 - (x+y+z)) = \dfrac{5}{3t(3+t)}(9-t^2} = \dfrac{5(\sum{(y-z)^2}}{3t(t+3)}$ voi t = x+y+z
như vậy ta cần CM: $\dfrac{\sum{(y-z)^2}}{2} \ge \dfrac{5(\sum{(y-z)^2}}{3t(t+3)}$
do $\sum{(y-z)^2} \ge 0$ nên ta chỉ cần Cm:
3t(3+t) 10
chú ý: $t^2 = x^2+y^2+z^2+ 2(xy+yz+zx) \ge 3 => t \ge \sqrt{3}$
nhue vậy hiển nhiên 3t(3+t) 10
vậy BDT được CM:
kl: $max A = \dfrac{14}{3} <=> x=y=z=1$

[h.vuong_pdl]

uhm, bài này có thể giải bằng một lời giải đại số :
đặt t= x+y+z
ta có $2A + 3 = 3+ 2(xy+yz+zx) + \dfrac{10}{x+y+z} = t^2 + \dfrac{10}{t}$
ta sẽ Cm: $A \le \dfrac{14}{3} => 3 + 2A \le \dfrac{37}{3}$
hay : $3t^2 - 37t + 30 \le 0 <=> (t - 3)(3t^2 + 9t -10)$
hiển nhiên $t^3 = (x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2) = 9 => t \le 3$
=> cần Cm: $3t^2 + 9t - 10 \ge 0$ => hoàn toàn tương tự như trên ?????

p/s: không ngờ 2 cách khác nhau mà lại cho 1 BDT cuối cùng giống nhau ???

[thuylinhbg]

mình hem thấy nut thanks đâu hít ấy. bài nè đơn giản hơn ta dùng kshs (lại thêm rất nhìu hàm ks) sau đây mình xin đưa thêm 1 cách làm ks:
A $ \leq $ $ \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$ +$ \dfrac{5}{x+y+z}$ = $ \dfrac{t^2}{3}+\dfrac{5}{t}=y$
ta sẽ ks hàm $y=\dfrac{t^2}{3}+\dfrac{5}{t}$ với $t \in (1;3]$ (ta có giả sử x =max{x;y;z} ta có $x \geq 1$ do đó t>1 vì y+z>0)
(ta cũng có thể giới hạn hơn trong $[ \sqrt{3} ;3]$ vì $t^2=(x+y+z)^2 \geq x^2+y^2+z^2$ )
ks hàm xong ta sẽ nhận đc kq là max $y=y(3)=\dfrac{14}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinhbg: 14-09-2010 - 15:14

[h.vuong_pdl]

uhm cách bạn tuy đơn giản nhưng nó là một đánh giá hơi "quá mạnh tay", không tin bạn thử với bài mạnh hơn này xem sao ???
cho x,y,z 0 tm : $x^2+y^2+z^2 = 3.$
tìm GTLN của biểu thức:
$A = (xy+yz+zx) + \dfrac{12}{x+y+z}$

p/s: thử đi bạn, như thế mới xứng làm đề ĐH ( không khó nhưng càn một đánh giá đơn giản ???)

[thuylinhbg]

uhm cách bạn tuy đơn giản nhưng nó là một đánh giá hơi "quá mạnh tay", không tin bạn thử với bài mạnh hơn này xem sao ???
cho x,y,z 0 tm : $x^2+y^2+z^2 = 3.$
tìm GTLN của biểu thức:
$A = (xy+yz+zx) + \dfrac{12}{x+y+z}$

p/s: thử đi bạn, như thế mới xứng làm đề ĐH ( không khó nhưng càn một đánh giá đơn giản ???)

mình nói bài nè nhìu cách ks mà. bạn có thể biến đổi $A=\dfrac{(x+y+z)^2-3}{2}+\dfrac{5}{x+y+z}$ rùi ks hàm số nè mà

[thuylinhbg]

bài của bạn cũng biến đổi về $y=\dfrac{t^2-3}{2}+\dfrac{12}{t}$
với t=x+y+z rùi giới hạn cho t. ta cũng có thể giới hạn $t \in [-3;1)$ hoặc $[-3, -\sqrt3]$ tùy ý.
nếu mình tính toán hem lầm thì Max=-1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinhbg: 15-09-2010 - 02:21

[h.vuong_pdl]

yhm, thế thì bạn nhầm rồi à ????
rõ ràng x, y, z không âm => dĩ nhiên A > 0 thì làm gì mà max = -1 được ??
bài này thực chất mình làm mạnh từ bài của bạn post trên thôi ???
ý mình là muốn chứng minh cho bạn thấy cái đánh giá trên của bạn là hơi mạnh ???

p/s: mình chưa học mấy cái khảo sát đánh giá gì đó ở trên nên không hiểu bạn vieets gì lắm ??
theo mình thì cứ nhận xét đẳng thức xảy ra khi nào => dự đoán max = 7 => ta sẽ Cm: A 7 => thế là được thôi ????

[khacduongpro_165]

Ai làm ơn giải kĩ vào hộ em bài này với em dố bất đẳng thức lắm!!!!!>.<
cho x, y ,z là 3 số dương thỏa mãn $xyz=1$. chứng minh rằng
$ \dfrac{ x^{2} }{1+y}+ \dfrac{y^{2} }{1+z}+ \dfrac{z^{2} }{1+x} \ge \dfrac{3}{2}$

đề thi những năm trước thì chỉ cần dùng điểm rơi là được đi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 19:31

[Trần Lê Văn]

Tiếp:
1. Cho các số thực x,y,z, tìm min của: $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}$

2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $

1)$ x^2+xy+y^2 = \dfrac{3(x+y)^2}{4} + \dfrac{1(x-y)^2}{4} \geq \dfrac{3(x+y)^2}{4}$
$ \Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2} \geq \dfrac{ \sqrt{3}(x+y) }{2}$
Cmtt vs 2 cai' kia thi` ra dc min thui

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 19:32
Latex

[dante_dmc4]

Tiếp:
1. Cho các số thực x,y,z, tìm min của: $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}$

2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $

bài 1 không có ĐK $x;y;z$ à

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 19:33
Latex

[lehaison_math]

Cả 2 bài chỉ cần dùng mincốpski là song

File gửi kèm

•  45_chung_minh_Nesbitt_www.MATHVN.com.pdf   223.86K   229 Số lần tải

[harrypotter10a1]

Tiếp:
1. Cho các số thực x,y,z, tìm min của: $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}$

2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $

Bài 1 hình như thiếu đề thì phải
Bài 2: từ gt $\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$
Ta có:$ \sqrt{ b^{2}+2 a^{2} }\ge\dfrac{ b+2a}{\sqrt{3}}$.. Biến đổi tí nữa là ổn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 19:34

[go out]

Nhân đây tạo thêm box mới cho mùa thi TSDH năm 2008

Hai bài toán trong đề dự bị đại học ; tuy nhiên học sinh THCS thì thấy 2 bài toán này chắc ngỡ ngàn lắm vì nó chẳng phù hợp với thi đại học

Bài 1 : Cho x;y là hai số dương . CMR: $( 1 +x)(1+\dfrac{y}{x})(1+\dfrac{9}{\sqrt{y}})^2 \ge 256 $

Bài 2 : Cho x;y là hai số dương thỏa mãn$ x + y = \dfrac{5}{4}. CMR: \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}4y \ge 5 $

em thầy đề ĐH càng ngày càng dễ xơi thầy à ko biết đến lúc em nó có mở cổng cho mình vào luôn hay ko

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 19:35

[Momochan]

Tiếp:
1. Cho các số thực a,b,c thỏa a+b+c=3 tìm min của: $\sqrt{a^2+ab+c^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}$

2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $

1) $A= \sqrt{a^2+ab+c^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}$

$= \sqrt{(a+\dfrac{b}{2})^2+(\dfrac{b\sqrt{3}}{2})^2}+\sqrt{(b+\dfrac{c}{2})^2+(\dfrac{c\sqrt{3}}{2})^2}+\sqrt{(c+\dfrac{a}{2})^2+(\dfrac{a\sqrt{3}}{2})^2}$

$\geq \sqrt{(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2})^2+[\dfrac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)]^2}=3\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra tại $a=b=c=1$

Vậy $MinA=3\sqrt{3} \Leftrightarrow a=b=c=1$

2) Đặt $a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}$

Sau đó sử dụng Bunhiacoxky hoặc phương pháp vectơ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 19:35

[le nhat truong]

Tiếp:
1. Cho các số thực x,y,z, tìm min của: $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}$

2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $

em còn kém bdt lắm.e giải bài 2 như thế này có sai ở chỗ nào anh ,chị chỉ dùm

$VT bdt =\dfrac{ \sqrt{b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}+\sqrt{a^{2}c^{2}+2b^{2}a^{2}}+\sqrt{a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}}}{abc}$

$ = \dfrac{ \sqrt{(81+162)(b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})} + \sqrt{(81+162)(a^{2}c^{2}+2b^{2}a^{2})} + \sqrt{(81+162)(a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}})}{\sqrt{243} abc}$
áp dung bdt cauchy-schwarz,

$\geq \dfrac{27(ab+bc+ca)}{\sqrt{243} abc} = \dfrac{27abc}{\sqrt{243} abc}= \sqrt{3}$

dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow a=b=c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le nhat truong: 05-06-2011 - 21:46

[Tạ Hồng Quảng]

a, b, c dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
$\dfrac{a^4}{a^3+3b^3}+\dfrac{b^4}{b^3+3c^3}+\dfrac{c^4}{c^3+3a^3}\geq \dfrac{1}{4}$

[NguyThang khtn]

a, b, c dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
$\dfrac{a^4}{a^3+3b^3}+\dfrac{b^4}{b^3+3c^3}+\dfrac{c^4}{c^3+3a^3}\geq \dfrac{1}{4}$

Bài này dùng Kĩ thuật đánh giá phủ định của phủ định!
Theo BĐT AM-GM
Ta có :$\dfrac{a^4}{a^3+3b^3}=a-\dfrac{3ab^3}{a^3+3b^3}\ge a-\dfrac{3\sqrt[4]{ab^3}}{4}\ge \dfrac{13a-9b}{16}$
Tương tự ta có các BĐT như vậy rùi cộng lại là ra!
Một bài Típ!
Let a,b,c are three positive numbers.Prove that:
$\dfrac{(a+b+c)^3}{abc}+(\dfrac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2})^2 \ge 28$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 24-07-2011 - 16:35

[CD13]

a, b, c dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
$\dfrac{a^4}{a^3+3b^3}+\dfrac{b^4}{b^3+3c^3}+\dfrac{c^4}{c^3+3a^3}\geq \dfrac{1}{4}$

Có thể giải bằng chọn điểm rơi không, vì ý tưởng tự nhiên hơn!
$\dfrac{a^4}{a^3+3b^3}+\dfrac{9(a^3+3b^3)}{16}\ge \dfrac{3}{2}a^2$
$\Rightarrow VT \ge \dfrac{3}{2}(a^2+b^2+c^2) - \dfrac{9}{4}(a^3+b^3+c^3)$
Sau đó ta chỉ cần nói được:
$a^2+b^2+c^2 \ge \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2=\dfrac{1}{3}$
$a^3+b^3+c^3 \le a+b+c = 1$
Như vậy xong rồi nhỉ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 02-10-2011 - 17:50

[Crystal]

Một bài Típ!
Let a,b,c are three positive numbers.Prove that:
P=$\dfrac{(a+b+c)^3}{abc}+\dfrac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \ge 28$

Mình nghĩ đề phải như trên.

Với x, y, z là các số thực dương ta có các BĐT:

$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\,\,\,(1)$

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{{x + y + z}}\,\,\,(2)$

$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx\,\,\,(3)$

Dấu "=" xảy ra ở (1), (2), (3) $\Leftrightarrow x = y = z$

Áp dụng các BĐT (1), (2), (3) vào bài toán ta có:

$P = \dfrac{{ab + bc + ca}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \left( {a + b + c} \right)^2 \left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}} \right) \ge $

$\ge \dfrac{{ab + bc + ca}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right).\dfrac{9}{{ab + bc + ca}} + 18$

$= \left( {\dfrac{{ab + bc + ca}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \dfrac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{ab + bc + ca}}} \right) + \dfrac{{8\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)}}{{ab + bc + ca}} + 18$

$\ge 2 + 8 + 18 = 28$. (đpcm)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Cho các số thực dương $a,b,c > 0 $ thoả mãn $abc+a+c=b$ . Tìm GTLN của biểu thức

$P = \dfrac{2}{a^2+1}-\dfrac{2}{b^2+1}+\dfrac{3}{c^2+1}$

$abc+a+c=b\Rightarrow ac + \dfrac{a}{b} +\dfrac{c}{b} =1$
$a,b,c>0 \Rightarrow \exists A,B,C \in (0; \pi) : A+B+C = \pi ; a=tan \dfrac{A}{2} , \dfrac{1}{b} = tan \dfrac{B}{2} , c=tan \dfrac{C}{2}$
...
$\Rightarrow P= -3sin^{2}\dfrac{C}{2} +2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A-B}{2} +3$
$= -3(sin\dfrac{C}{2} -\dfrac{1}{3}cos\dfrac{A-B}{2})^2 + \dfrac{1}{3}cos^2\dfrac{A-B}{2}+3$
$\le \dfrac{1}{3}cos^2\dfrac{A-B}{2}+3$
$\le \dfrac{1}{3} +3 = \dfrac {10}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 02-10-2011 - 15:23