Chủ đề này có 1 trả lời

[QHHH]

Cho tam giác $ABC$ và các đường cao $AA',BB',CC'$ chứng minh rằng các đường thẳng Euler của các tam giác $AB'C,BC'A',CA'B'$ đồng quy tại một điểm trên đường tròn Euler của tam giác $ABC$ gọi là điểm Jerabek của tam giác $ABC$.

Bài toán này có lời giải bằng pp tọa độ trên forumgeom đã được in tại đây http://forumgeom.fau...e4/FG200401.pdf nhưng liệu có một lời giải thuần túy hh không?

[PDatK40SP]

Cho tam giác $ABC$ và các đường cao $AA',BB',CC'$ chứng minh rằng các đường thẳng Euler của các tam giác $AB 'C ',BC 'A ',CA 'B '$ đồng quy tại một điểm trên đường tròn Euler của tam giác $ABC$ gọi là điểm Jerabek của tam giác $ABC$.

Bài toán này có lời giải bằng pp tọa độ trên forumgeom đã được in tại đây http://forumgeom.fau...e4/FG200401.pdf nhưng liệu có một lời giải thuần túy hh không?

Nhận xét: Nếu hai tam giác đồng dạng cùng hướng thì góc giữa các cặp đường thẳng "tương ứng" là bằng nhau.
Áp dụng:
Gọi $H$ là trực tâm $\triangle{ABC}$, $O_a, O_b, O_c$ là tâm của $(AB ' C '), (BC ' A ') , (CA ' B ')$. Ta có $O_a, O_b, O_c$ là trung điểm $HA, HB, HC$ và thuộc đường tròn Euler của $\triangle{ABC}$. Gọi $A_o, B_o, C_o$ là trung điểm $BC$
Ký hiệu $e_a, e_b, e_c$ là đường thẳng Euler của các tam giác $\triangle{AB'C'}, \triangle{BC'A'}, \triangle{CA'B'}$. Cho $e_b, e_c$ cắt nhau tại $S$. Theo nhận xét thì ta có $(SO_b, SO_c) \equiv (e_b, e_c) \equiv (BC', B'C) \equiv (A_o O_b, A_o O_c) \ \pmod{ \pi} \Rightarrow S \in (O_bO_c A_o)$
Vậy $S$ thuộc đường tròn Euler của $\triangle{ABC}$. Suy ra $(SO_a, e_b) \equiv (SO_a, SO_b) \equiv ( C_o O_a, C_o O_b) \equiv (AB', BA') \equiv (e_a, e_b) \ \pmod{ \pi}$
Nghĩa là $SO_a \parallel e_a$. Mà $O_a \in e_a$ suy ra $S \in e_a$, ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDatK40SP: 14-03-2008 - 23:49