Chủ đề này có 8 trả lời

[Non_Stop]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$x^2=y^5+4$

[nguyendinhminhhieu]

$x^2=y^5+4$ $x^2-4=y^5$ $(x-2)(x+2)=y^5$
$\left{\begin{x-2=1}\\{x+2=y^5$
hoặc $\left{\begin{x-2=y}\\{x+2=y^4$
hoặc $\left{\begin{x-2=y^2}\\{x+2=y^3$
hoặc $\left{\begin{x-2=y^3}\\{x+2=y^2$
hoặc $\left{\begin{x-2=y^4}\\{x+2=y$
hoặc $\left{\begin{x-2=y^5}\\{x+2=1$
rồi em giải các hệ pt,cố gắng lên nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyendinhminhhieu: 17-03-2008 - 14:57

[kudo_tonghop]

lời giải này không ổn rồi. xét thiếu trường hợp.

[Non_Stop]

$x^2=y^5+4$ $x^2-4=y^5$ $(x-2)(x+2)=y^5$
$\left{\begin{x-2=1}\\{x+2=y^5$
hoặc $\left{\begin{x-2=y}\\{x+2=y^4$
hoặc $\left{\begin{x-2=y^2}\\{x+2=y^3$
hoặc $\left{\begin{x-2=y^3}\\{x+2=y^2$
hoặc $\left{\begin{x-2=y^4}\\{x+2=y$
hoặc $\left{\begin{x-2=y^5}\\{x+2=1$
rồi em giải các hệ pt,cố gắng lên nhé

y có phải lũy thừa của số nguyên tố đâu mà có thể làm thế này.

[THC]

Bài này mình thu được một số kết quả hay, nhưng chưa giải đến cùng được. Sau đây là lời giải (chưa trọn vẹn) của mình:

$x^2=y^5+4$ $(x-2)(x+2)=y^5$

Có thể xảy ra các trường hợp sau:
1) Nếu $x$ là LẺ:
Khi đó $(x-2)$ và $(x+2)$ là 2 số lẻ nguyên tố cùng nhau. Sẽ phải tồn tại 2 số lẻ $n,m$ nguyên tố cùng nhau $(n,m)=1; n>m$ và $n*m=y$, sao cho:
$(x-2)=m^5 ; (x+2)=n^5$
$n^5-m^5= (x+2)-(x-2)=4$
Thế nhưng $n^5-m^5 >= (m+2)^5-m^5 > 2^5=32$. Vô lý.
Như vậy nếu $x$ lẻ thì PT đã cho vô nghiệm

2) Nếu $x$ là số CHẴN.
Sẽ lại có 2 trường hợp:
a) $x=4k$
$(x-2)(x+2)=(4k-2)*(4k+2)= 4*(2k-1)*(2k+1)= y^5$
Hay là: $ (2k-1)*(2k+1)= 2^3*m^5$ với $m$ là 1 số nguyên nào đó.
Thế nhưng vì vế trái là số lẻ, vế phải là số chẵn nên lại suy ra vô lý.
Vậy với trường hợp $x=4k$ thì PT cũng lại vô nghiệm

b) $x= 4k+2$
Với trường hợp này mình chỉ "mò" ra được là PT có 1 nghiệm:
$ x=6 ; y=2 $
Nhưng đây có phải là nghiệm duy nhất cho trường hợp $x=4k+2$ hay không thì mình chưa chứng minh được. Thử bằng cách lập trình trên máy tính thì cũng không tìm ra thêm được nghiệm nào nữa.

Vậy có bạn nào có cách làm khác hoặc giải nốt được trường hợp trên khi $x=4k+2$ không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi THC: 26-03-2008 - 19:13

[Non_Stop]

Phần đó đơn giản mà anh:
Đặt $x=4x_1+2$
<=>$16x_1^2+16x_1+4=y^5+4$
<=>$16x_1^2+16x_1=y^5$
Đặt $y=2y_1$
<=>$x_1(x_1+1)=2y_1^5$
Để ý $(x_1,x_1+1)=1$ ta dễ dàng suy ra nghiệm của phương trình.

[THC]

<=>$x_1(x_1+1)=2y_1^5$
Để ý $(x_1,x_1+1)=1$ ta dễ dàng suy ra nghiệm của phương trình.

'pephuc_93 có thể giải thích thật rõ ràng điều này được không? Đồng ý là $(x_1,x_1+1)=1$ nhưng tại sao PT này chỉ tồn tại nghiệm duy nhất là $x_1=1; y_1=1 ?$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi THC: 26-03-2008 - 20:44

[THC]

Có ai giải được cho trường hợp x=4k+2 hay không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi THC: 21-08-2008 - 22:16

[tuan101293]

Bài này tui chưa ra nhưng còn mò ... thêm được nghiệm nữa:
(x;y)=(-6;2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 21-08-2008 - 22:47