Một Bài Thú Vị
#1
Đã gửi 14-03-2008 - 18:39
Thảo mãn : $1-\dfrac{1}{a_{1}}-\dfrac{1}{a_{2}}- ... - \dfrac{1}{a_n} > 0$
Tìm Min của $1-\dfrac{1}{a_{1}}-\dfrac{1}{a_{2}}- ... - \dfrac{1}{a_n} $
We will always have STEM with us. Some things will drop out of the public eye and will go away, but there will always be science, engineering, and technology. And there will always, always be mathematics.
#2
Đã gửi 28-03-2008 - 20:13
#3
Đã gửi 28-03-2008 - 22:58
#4
Đã gửi 29-03-2008 - 19:48
#5
Đã gửi 29-03-2008 - 21:41
#6
Đã gửi 29-03-2008 - 21:42
Cứ thế, cứ thế ...
#7
Đã gửi 29-03-2008 - 23:04
Sử dụng kết quả cho dãy $ \{a_n\} $ xây dựng bởi $ a_1=2,a_2=3,a_{n+1}=a_1...a_n+1 $
Từ đó ta chứng minh được nếu $ x_1,..,x_n $ phân biệt nguyên dương thỏa mãn $ \dfrac{1}{x_1}+..+\dfrac{1}{x_n}<1 $ thì $ \dfrac{1}{x_1}+..+\dfrac{1}{x_n} \leq \dfrac{1}{a_1}+..+\dfrac{1}{a_n} $
Kết hợp với kết quả $ \dfrac{1}{a_1}+..+\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{a_1..a_n}=1 $ suy ra ta có được kết quả.
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#8
Đã gửi 30-03-2008 - 07:03
Cái bài này em cũng vừa biết từ hôm qua .Đề gốc của nnó là như trên ,có nó thì việc Cm min có vẻ easyBài này luôn tồn tại min.
Sử dụng kết quả cho dãy $ \{a_n\} $ xây dựng bởi $ a_1=2,a_2=3,a_{n+1}=a_1...a_n+1 $
Từ đó ta chứng minh được nếu $ x_1,..,x_n $ phân biệt nguyên dương thỏa mãn $ \dfrac{1}{x_1}+..+\dfrac{1}{x_n}<1 $ thì $ \dfrac{1}{x_1}+..+\dfrac{1}{x_n} \leq \dfrac{1}{a_1}+..+\dfrac{1}{a_n} $
Kết hợp với kết quả $ \dfrac{1}{a_1}+..+\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{a_1..a_n}=1 $ suy ra ta có được kết quả.
Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
#9
Đã gửi 03-04-2008 - 01:02
anh tanlsth hay là anh yiruma có thể cho em lời giải dc khôngBài này luôn tồn tại min.
Sử dụng kết quả cho dãy $ \{a_n\} $ xây dựng bởi $ a_1=2,a_2=3,a_{n+1}=a_1...a_n+1 $
Từ đó ta chứng minh được nếu $ x_1,..,x_n $ phân biệt nguyên dương thỏa mãn $ \dfrac{1}{x_1}+..+\dfrac{1}{x_n}<1 $ thì $ \dfrac{1}{x_1}+..+\dfrac{1}{x_n} \leq \dfrac{1}{a_1}+..+\dfrac{1}{a_n} $
Kết hợp với kết quả $ \dfrac{1}{a_1}+..+\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{a_1..a_n}=1 $ suy ra ta có được kết quả.
em cám ơn anh nhiều
#10
Đã gửi 05-04-2008 - 13:40
Chứng minh được $ \dfrac{1}{a_1}+..+\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{a_1..a_n}=1 $
Qui nạp theo $ n $ là $ \dfrac{1}{x_1}+..\dfrac{1}{x_n} \leq \dfrac{1}{a_1}+..+\dfrac{1}{a_n} $
Với kết quả đúng tới $ n $ ta xét với $ n+1 $
Giả sử $ x_1 \leq .. \leq x_{n+1} $ và phản chứng $ 1> \dfrac{1}{x_1}+..\dfrac{1}{x_{n+1}}>\dfrac{1}{a_1}+..+\dfrac{1}{a_{n+1}}$
Khi đó $ \dfrac{1}{a_1..a_{n+1}}=1-(\dfrac{1}{a_1}+..+\dfrac{1}{a_n}) > 1-(\dfrac{1}{x_1}+..\dfrac{1}{x_{n+1}})=\dfrac{x}{x_1..x_{n+1}} \geq \dfrac{1}{x_1..x_{n+1}} $
Suy ra $x_1..x_{n+1} > a_1..a_{n+1} $
Lại có theo khai triển Abel thì $ \dfrac{x_1}{a_1}+..+\dfrac{x_{n+1}}{a_{n+1}}= x_{n+1} \sum\limits_{i=1}^{n+1}\dfrac{1}{a_i} + \sum\limits_{k=1}^{n}(\sum\limits_{i=1}^{k}\dfrac{1}{a_i})(x_k-x_{k+1})<x_{n+1} \sum\limits_{i=1}^{n+1}\dfrac{1}{x_i} + \sum\limits_{k=1}^{n}(\sum\limits_{i=1}^{k}\dfrac{1}{x_i})(x_k-x_{k+1})= \sum\limits_{i=1}^{n+1}\dfrac{x_i}{x_i}=n+1 $
Theo bất đẳng thức Côsi suy ra $ a_1..a_{n+1}>x_1..x_{n+1} $ mâu thuẫn với kết quả ở trên.
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh