Kí hiệu $S_{n}^{i}$ để chỉ đa thức đối xứng sơ cấp thứ $n$ của các biến $x_{j},j\neq i$
Xét khai triển chuỗi $$f(x)=\sum_{i=1}^{q}\frac{a_{i}}{1-x_{i}x}
=(a_{1}+a_{2}+...+a_{q})+(a_{1}x_{1}+...+a_{q}x_{q})z+...$$ có tất cả các hệ số đều là bội của $m$. Do đó, tất cả các hệ số của chuỗi $$g(x)=\sum_{i=1}^{q}a_{i}\prod _{j\neq i}(1-x_{j}x)$$ cũng đều là bội của $m$. Do đó, ta có $$m|\sum_{i=1}^{q}a_{i}
$$ $$m|\sum_{i=1}^{q}a_{i}S_{1}^{i}$$ $$ ...$$ $$m|\sum_{i=1}^{q}a_{i}S_{q-1}^{i}$$ Suy ra $$m|x_{1}^{q-1}\sum_{i=1}^{q}a_{i}-x_{1}^{q-2}\sum_{i=1}^{q}a_{i}S_{1}^{i}+...+(-1)^{q-1}\sum_{i=1}^{q}a_{i}S_{q-1}^{i}$$ $$=\sum_{i=1}^{q}a_{i}\left [ x_{1}^{q-1}-S_{1}^{i}x_{1}^{q-2}+...+(-1)^{q-1}S_{q-1}^{i} \right ]$$ Chú ý, với mọi $i\geqslant 2$ thì $$x_{1}^{q-1}-S_{1}^{i}x_{1}^{q-2}+...+(-1)^{q-1}S_{q-1}^{i}=\prod _{j\neq i}(x_{1}-x_{j})=0$$ Và $x_{1}^{q-1}-S_{1}^{1}x_{1}^{q-2}+...+(-1)^{q-1}S_{q-1}^{1}=\prod _{j=2}^{q}(x_{1}-x_{j})$. Do đó $$m|a_{1}\left ( x_{1}-x_{2} \right )(x_{1}-x_{3})...(x_{1}-x_{q})$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trungpbc: 09-11-2012 - 08:32