Dãy số lượng giác
Bắt đầu bởi zaizai, 18-03-2008 - 03:56
#1
Đã gửi 18-03-2008 - 03:56
Cho dãy $(x_n)$ được xác định như sau:
$ \left\{\begin{array}{l}u_0=a\in \mathbb{R}\\u_{n+1}=(\sin(u_n+11))^2-2007,\forall n\in \mathbb{N}\end{array}\right. $
Chứng minh rằng:
a, Phương trình $(\sin(u_n+11))^2-2007=x$ có nghiệm duy nhất
b, $\lim{u_n}=b$
$ \left\{\begin{array}{l}u_0=a\in \mathbb{R}\\u_{n+1}=(\sin(u_n+11))^2-2007,\forall n\in \mathbb{N}\end{array}\right. $
Chứng minh rằng:
a, Phương trình $(\sin(u_n+11))^2-2007=x$ có nghiệm duy nhất
b, $\lim{u_n}=b$
#2
Đã gửi 18-03-2008 - 13:48
Mình nhớ chính xác đây là bài trên báo toán tuổi trẻ tháng 2 năm 2007.Bạn gõ sai phần a rồi.Phải là pt $(sin(x+11))^2-2007=x$ có duy nhất nghiệm thực chứ.Bài này dễ mà.
#3
Đã gửi 18-03-2008 - 23:09
Câu a đạo hàm ta có
$ 2sin(x+11)cos(x+11)-1 <0$ với mọi x
=> hàm số nghịch biến
dễ c/m nó có no duy nhất
câu b dựa theo câu a thôi ,dãy bị chặn + giảm ( or tăng) gì đó
$ 2sin(x+11)cos(x+11)-1 <0$ với mọi x
=> hàm số nghịch biến
dễ c/m nó có no duy nhất
câu b dựa theo câu a thôi ,dãy bị chặn + giảm ( or tăng) gì đó
12A1-THPT PHAN BỘI CHÂU-TP VINH-NGHỆ AN
SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN
SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN
#4
Đã gửi 20-03-2008 - 18:04
Bài này chỉ là một hệ quả nhỏ của định lý Lagrange thôi mà đây là bài làm trên lớp thôi mình chả biết nguồn gốc thế nào. Vẫn là 1 định lý cũ rích nhưng khá hiệu quả (bài 4 VMO 2008 cũng giải được bằng cách này)
Định lý: Cho hàm số$ f(x)$ liên tục trên tập$ \mathbb{V}$, khi đó phương trình $f(x)=x$ có nghiệm $x_0$ là duy nhất và $|f'(x)|\le k<1$ thì dãy số được xác định bởi $u_0=a,u_{n+1}=f(u_n)$ hội tụ và có giới hạn là $x_0$.
Bài trên coi $u_{n+1}=f(x)=x$ thì dễ suy ra $x\in [-2007,-2006]\to |f'(x)|<1$ từ đó suy ra điều phải chứng minh thôi.
Định lý: Cho hàm số$ f(x)$ liên tục trên tập$ \mathbb{V}$, khi đó phương trình $f(x)=x$ có nghiệm $x_0$ là duy nhất và $|f'(x)|\le k<1$ thì dãy số được xác định bởi $u_0=a,u_{n+1}=f(u_n)$ hội tụ và có giới hạn là $x_0$.
Bài trên coi $u_{n+1}=f(x)=x$ thì dễ suy ra $x\in [-2007,-2006]\to |f'(x)|<1$ từ đó suy ra điều phải chứng minh thôi.
#5
Đã gửi 21-03-2008 - 06:28
cái này là định lý điểm bất động Banach màBài này chỉ là một hệ quả nhỏ của định lý Lagrange thôi mà đây là bài làm trên lớp thôi mình chả biết nguồn gốc thế nào. Vẫn là 1 định lý cũ rích nhưng khá hiệu quả (bài 4 VMO 2008 cũng giải được bằng cách này)
Định lý: Cho hàm số$ f(x)$ liên tục trên tập$ \mathbb{V}$, khi đó phương trình $f(x)=x$ có nghiệm $x_0$ là duy nhất và $|f'(x)|\le k<1$ thì dãy số được xác định bởi $u_0=a,u_{n+1}=f(u_n)$ hội tụ và có giới hạn là $x_0$.
Bài trên coi $u_{n+1}=f(x)=x$ thì dễ suy ra $x\in [-2007,-2006]\to |f'(x)|<1$ từ đó suy ra điều phải chứng minh thôi.
#6
Đã gửi 21-03-2008 - 23:18
Cái đó có thể c/m được = Lagrange mà anh
chỉ đơn thuần là $ \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'© \le k <1$ => ...
chỉ đơn thuần là $ \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'© \le k <1$ => ...
12A1-THPT PHAN BỘI CHÂU-TP VINH-NGHỆ AN
SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN
SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh