tìm $f: R^+ --> R^+ $là hàm liên tục ,nghịch biến t.m
$f(x+y) + f(f(x) + f(y) ) = f(f(x+f(y)) + f(y+f(x) )$ với mọi $x,y \in R^+ $ .Cm$ f(f(x)) = x $.
#1
Đã gửi 25-03-2008 - 19:15
H.Quân- ĐHV
-
- Thành viên
-
- 530 Bài viết
An-tôn Páp-lô-vích Sê-Khốp
I hope for the best
Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
#2
Đã gửi 28-03-2008 - 22:25
MyLoveIs4Ever
-
- Thành viên
-
- 441 Bài viết
Sĩ quan
Cho $ x=y $ ta có $ f(2x)+f(2f(x))=f(2f(x+f(x))) $
Thay $ x $ bổi $ f(x) $ => $ f(2f(x))+f(2f(f(x)))=f(2f(f(x)+f(f(x)))) $
$ <=> f(2f(f(x)))-f(2x)= f(2f(f(x)+f(f(x)))) -f(2x)-f(2f(x)) = f(2f(f(x)+f(f(x)))) -f(2f(x+f(x))) $
$ <=> f(2f(f(x)+f(f(x)))) + f(2x)= f(2f(f(x)))+f(2f(x+f(x))) $
Giả sử $ f(f(x)) > x $ do $ f $ nghịch biến $ => f(2f(f(x)+f(f(x)))) +f(2x) > f(2f(x+f(x))) +f(2f(f(x))) $
$ f(f(x)) < x => f(2f(f(x)+f(f(x)))) +f(2x < f(2f(x+f(x))) +f(2f(f(x))) $
Cả 2 trường hợp đều vô lí dấu "=" xảy ra khi $ f(f(x))=x $ và thay vào thỏa nên
Túm lại $ f(f(x))=x , \forall x \in R^+ $
Thay $ x $ bổi $ f(x) $ => $ f(2f(x))+f(2f(f(x)))=f(2f(f(x)+f(f(x)))) $
$ <=> f(2f(f(x)))-f(2x)= f(2f(f(x)+f(f(x)))) -f(2x)-f(2f(x)) = f(2f(f(x)+f(f(x)))) -f(2f(x+f(x))) $
$ <=> f(2f(f(x)+f(f(x)))) + f(2x)= f(2f(f(x)))+f(2f(x+f(x))) $
Giả sử $ f(f(x)) > x $ do $ f $ nghịch biến $ => f(2f(f(x)+f(f(x)))) +f(2x) > f(2f(x+f(x))) +f(2f(f(x))) $
$ f(f(x)) < x => f(2f(f(x)+f(f(x)))) +f(2x < f(2f(x+f(x))) +f(2f(f(x))) $
Cả 2 trường hợp đều vô lí dấu "=" xảy ra khi $ f(f(x))=x $ và thay vào thỏa nên
Túm lại $ f(f(x))=x , \forall x \in R^+ $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoveIs4Ever: 28-03-2008 - 22:27
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
