Chủ đề này có 1 trả lời

[Lity124]

Bài này hình như thầy Trần Nam Dũng đã có 1 lời giải trên THTT dùng Côsi rồi (mình cần xem lại LG đó ).Cũng có 1 cách phân chia trường hợp khá phức tạp (không hay !):
Cho $x;y>0$ thỏa mãn:$x^2+y^3 \geq x^3+y^4$.Tìm Max của biểu thức : $T=x^3+y^3$

[trungdeptrai]

Bài này hình như thầy Trần Nam Dũng đã có 1 lời giải trên THTT dùng Côsi rồi (mình cần xem lại LG đó ).Cũng có 1 cách phân chia trường hợp khá phức tạp (không hay !):
Cho $x;y>0$ thỏa mãn:$x^2+y^3 \geq x^3+y^4$.Tìm Max của biểu thức : $T=x^3+y^3$

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz,ta có:
${\left( {y}^{3}+{x}^{2}\right)}^{2}\leq \left( {y}^{4}+{x}^{3}\right)\left( {y}^{2}+x\right)\leq \left( {y}^{3}+{x}^{2}\right)\left( {y}^{2}+x\right)
\Rightarrow {y}^{3}+{x}^{2}\leq {y}^{2}+x$
${\left( {y}^{2}+x\right)}^{2}\leq \left( {y}^{3}+{x}^{2}\right)\left( y+1\right)\leq \left( {y}^{2}+x\right)\left( y+1\right)
\Rightarrow {y}^{2}+x\leq y+1$
$\Rightarrow {y}^{4}+{x}^{3}\leq {y}^{3}+{x}^{2}\leq {y}^{2}+x\leq y+1$
Suy ra:${x}^{3}+{y}^{3}\leq y+1-{y}^{4}+{y}^{3}=2-{\left(y-1 \right)}^{2}\left({y}^{2}+y+1 \right)\leq 2$