Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Olympic 30/4, năm 2008


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 62 trả lời

#1 Mashimaru

Mashimaru

    Thượng sĩ

  • Hiệp sỹ
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường PTNK ĐHQG TPHCM

Đã gửi 05-04-2008 - 17:25

Đề thi Olympic 30/4 (tổ chức ngày 5/4/2008)

Câu 1:
Giải hệ phương trình: $ \left\{\begin{array}{l}x+y-z=7\\x^2+y^2-z^2=37\\x^3+y^3-z^3=1\end{array}\right. $

Câu 2:
Cho $\triangle ABC$ có diện tích bằng $S$. $M,N,K$ là các điểm nằm trên $BC,CA,AB$ sao cho:
$30\vec{MB}+\vec{MC}=4\vec{NA}+\vec{NC}=14\vec{KA}+\vec{KB}=\vec{0}$
Gọi $D,E,F$ lần lượt là giao điểm của các đoạn thẳng $AM$ và $CK$, $AM$ và $BN$, $CK$ và $BN$.
Tính $S_{\triangle DEF}$ theo $S$.

Câu 3:
Chứng minh rằng $\forall n \in N^{*}$ và $x \in (0;1)$, ta luôn có bất đẳng thức:
$x^2.\sqrt[n]{1-x} \leq (\dfrac{2n}{2n+1}).\dfrac{1}{\sqrt[n]{2n+1}}$

Câu 4:
Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho:
$\forall a \in Z, \forall b \in Z, a^2 \equiv b^2 (mod m) \Rightarrow a \equiv \pm b (mod m)$

Câu 5:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho 2 đường tròn: $(C_1): x^2 + y^2 =2$ và $(C_2):cap^2+y^2=5$ và điểm $A(0;1)$. Xác định tọa độ của $B$ trên $(C_1)$ và $C$ trên $(C_2)$ sao cho $S_{\triangle ABC}$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mashimaru: 05-04-2008 - 17:36

Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.

#2 Mashimaru

Mashimaru

    Thượng sĩ

  • Hiệp sỹ
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường PTNK ĐHQG TPHCM

Đã gửi 05-04-2008 - 17:32

Kết quả của em là thế này ạ:

Câu 1: $(x,y,z)=(10;9;12);(9;10;12)$
Câu 2: Lạy Chúa, "trâu" quá con không dám tính >.<!!!
Câu 3: Áp dụng Cauchy ta có: $(\dfrac{x}{2n})^{2n}(1-x) \leq (\dfrac{2n.\dfrac{x}{2n}+1-x}{2n+1})^{2n+1}=\dfrac{1}{(2n+1)^{2n+1}}$. Chuyển vế và lấy căn bậc $n$ cho 2 vế (vì $x \in (0;1)$ nên phép lũy thừa bậc $n$ cho 2 vế là phép biến đổi tương đương).
Câu 4: $m=1$, $m=4$, hoặc $m$ là số nguyên tố. Ông trời ơi, con làm sai cái $m=4$ và thiếu trường hợp $m=2p$ với $p$ là số nguyên tố lẻ. Lạy ông...nương tay giùm, đừng trừ hết điểm bài này >.<!!!
Câu 5: Có 2 cặp điểm $(B;C)$ là $(B(-1;-1);C(-1;2))$ và $(B(-1;1);C(-1;-2))$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mashimaru: 05-04-2008 - 17:37

Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.

#3 duca1pbc

duca1pbc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh

Đã gửi 05-04-2008 - 21:19

cho cái đề lớp 11 luôn đi em :D

#4 Mashimaru

Mashimaru

    Thượng sĩ

  • Hiệp sỹ
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường PTNK ĐHQG TPHCM

Đã gửi 05-04-2008 - 22:07

Dạ, nói thật với anh là nếu có thì em cũng chẳng giấu làm gì ^o^. Em chỉ nghe được mấy thầy nói là đề lớp 11 nói chung dễ hơn lớp 10...
Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.

#5 duca1pbc

duca1pbc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh

Đã gửi 06-04-2008 - 08:21

Dạ, nói thật với anh là nếu có thì em cũng chẳng giấu làm gì ^o^. Em chỉ nghe được mấy thầy nói là đề lớp 11 nói chung dễ hơn lớp 10...

Chán nhỉ.Hỏi đến đứa nào đứa đấy bảo ko bik :D

#6 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1538 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 06-04-2008 - 11:07

Uh


Đề nói chung khá nhẹ

Hero TVƠ xin giải chi tiết bài 1 1 tí

Kí hiệu các phương trình từ trên xuống là $(1) , (2) , (3)$


Từ (1) và (2) Dùng hằng đẳng thức $ (x+y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy$

Ta có $z^{2} + 37 + 2xy = (z+7)^{2}$

Suy ra $2xy = 14z + 12$

Suy ra $xy = 7z +6$ $( *)$


Từ (3)
Dùng hằng đẳng thức $x^{3} + y^{3} = (x+y)(x^{2}+ y^{2} -xy)$



Ta có $z^{3} +1 = (z+7)( z^{2} + 37 - 7z -6) $


Suy ra $z^{3} +1 = (z+7)( z^{2} + 31 - 7z ) $

$ \Leftrightarrow $ $ -49z - 7z^{2} +31z + 7z^{2} + 7.31 = 1$

Suy ra $18z = 216$

Suy ra $z= 12$
Thay $z=12$vào $:D$ và phương trình $ x+ y = z+ 7$

Tới đây có hệ sau

$x+y =19 , xy = 90 , z=12$

Dùng Viet suy ra 2 nghiệm $(x,y,z)$ là $(10,9,12)$,$(9,10,12)$


Để suy nghĩ làm thịt thêm bài ineq

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 06-04-2008 - 11:17

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#7 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1538 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 06-04-2008 - 12:01

Bài bđt này xem ra nhảm wá


Chắc mấy cu làm ngon

Anh cũng xin phép giải cụ thể


Theo bđt $ AM -GM$ ta có

$ A = x^{2}\sqrt[n]{1 - x}$ $= \sqrt[n]{x^{2n}(1-x)} $



=> $2nA^{n} = x^{2n}(2n-2nx) $


$ = (\dfrac{ 2nx + ( 2n - 2nx)}{2n +1})^{2n+1}$

$ = (\dfrac{ 2n}{2n +1})^{2n+1}$

$ \Rightarrow A^{n} \leq (\dfrac{2n}{2n+1})^{2n}.\dfrac{1}{2n+1} $


$ \Rightarrow A \leq (\dfrac{2n}{2n+1})^{2}.\dfrac{1}{\sqrt[n]{2n+1}} $

Dấu $" = "$ xảy ra khi chỉ khi $ 2n - 2nx = x$


Tức là khi $x = \dfrac{2n}{2n+1}$


Hình như đề bị sai


Nếu theo đề thì ko có dấu đẳng thức do $\dfrac{2n}{2n+1} < 1 $



Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 06-04-2008 - 12:08

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#8 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 06-04-2008 - 13:33

Thể theo nguyện vọng làm bài số

Nếu $ n \no \vdots 2, n $ là hợp số không phải là lũy thừa số nguyên tố thì ta có $ n=p.q, (p,q)=1 $

Khi đó tồn tại $a,b \in N $ sao cho $a \equiv b \equiv 1 (mod p), a \equiv 1 (mod q), b \equiv -1 (mod q) $

Suy ra $ a^2-b^2 \vdots n $ nhưng $ a+b \no \vdots n , a-b \no \vdots n$

Nếu $ p^m||n, n>p^m, m>1, p \in P $ thì ta có chọn $ a=u.p^{m-1}, b=v.p^{m-1} $ với $ u,v $ thích hợp sao cho $ u^2-v^2 \vdots \dfrac{n}{p^m}, u^2-v^2 \no \vdots p $ suy ra $ a+b,a-b \no \vdots n$

Nếu $ n=p^k ,k>1, p \in P, p>2$ thì chọn $a=\dfrac{p^{k-1}+p}{2} , b=\dfrac{p-p^{k-1}}{2} $ thì ta có điều phải chứng minh.

Do đó $ n $ chỉ có thể là số nguyên tố hoặc có dạng $ 2p,2^k $

Xét các trường hợp $ n=2^k,k>2 $ ta chọn $ a=1+2^{k-2}, b=1-2^{k-2} $

Ta có kết quả là $ n=1,p,2p, p \in P$

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#9 buuvinhpro

buuvinhpro

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 06-04-2008 - 13:47

Em xin giải bài 2 như sau:

*Sử dụng bổ đề sau:

- Cho $ \delta ABC $ diện tích $S$.$ D, E $ là 2 điểm chạy trên $ AC, BC. AE $ cắt $ BD $ tại $ F $.

Lúc đó ta có:

$ \dfrac{S}{S[ABF]} = \dfrac{AC}{AD} + \dfrac{BC}{BE} -1 $:D

-Bổ đề trên khá quen thuộc nên không chứng minh tại đây.

-Áp dụng :D 3 lần vào bài toán, ta có kết quả...

#10 lyxuansang91

lyxuansang91

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 06-04-2008 - 14:06

Các chú mau post đề thi của 11 lên đi chứ. Cho anh em cung xem
Em muốn học giỏi toán

#11 trungcoTH

trungcoTH

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 06-04-2008 - 15:46

^^, minh` nghi đề lớp 10 năm nay ko khó lắm, minh` thấy bai` khó xơi nhất là bai` cuối cùng. Bài 2 hoàn toàn có thể tổng quát với các điểm M,N,K chia AB, BC, CA theo tỉ số bất kì, bai` 1 la bài ban giám khảo giúp hs ko bị điểm 0 ^^, bai` bdt thì miễn bàn còn bài đồng dư cũng ko khó lắm.
ai có kết quả chưa, pót lên cho xem với, ai biet kq đoàn PY ko

#12 nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 366 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết, Bình Thuận.
  • Sở thích:mê Toán sơ cấp (ĐT: 01234533861)

Đã gửi 07-04-2008 - 08:01

Em xin giải bài 2 như sau:

*Sử dụng bổ đề sau:

- Cho $ \delta ABC $ diện tích $S$.$ D, E $ là 2 điểm chạy trên $ AC, BC. AE $ cắt $ BD $ tại $ F $.

Lúc đó ta có:

$ \dfrac{S}{S[ABF]} = \dfrac{AC}{AD} + \dfrac{BC}{BE} -1 $:D

-Bổ đề trên khá quen thuộc nên không chứng minh tại đây.

-Áp dụng :D 3 lần vào bài toán, ta có kết quả...


^^, minh` nghi đề lớp 10 năm nay ko khó lắm, minh` thấy bai` khó xơi nhất là bai` cuối cùng. Bài 2 hoàn toàn có thể tổng quát với các điểm M,N,K chia AB, BC, CA theo tỉ số bất kì, bai` 1 la bài ban giám khảo giúp hs ko bị điểm 0 ^^, bai` bdt thì miễn bàn còn bài đồng dư cũng ko khó lắm.
ai có kết quả chưa, pót lên cho xem với, ai biet kq đoàn PY ko


Bài 2 áp dụng định lý Routh như sau:

Cho $X, Y, Z$ là các điểm lần lượt trên các cạnh $BC, CA$ và $AB$ sao cho $BX:XC = \lambda : \lambda' , CY:YA = \mu : \mu' , AZ:ZB = \nu : \nu'$.
Khi đó tam giác giới hạn bởi các đường thẳng $AX, BY $ và $CZ$ có diện tích:
$\dfrac{(\lambda \mu \nu - \lambda' \mu' \nu')^2}{(\lambda \mu + \lambda' \mu' + \lambda \mu')(\mu \nu + \mu' \nu' + \mu \nu')(\nu \lambda + \nu' \lambda' + \nu \lambda')} S_{ABC}$

Bài 5: Cách 1: Nhận xét $O$ là trực tâm tam giác ABC--> tọa độ các điểm!
Cách 2:
$2S_{ABC}=|y_2x_1-x_2(y_1-1)-1.x_1|$
Áp dụng CS ta có

$|y_2x_1-x_2(y_1-1)-1.x_1| \leq \sqrt{x_2^2+y_2^2+1}\sqrt{x_1^2+(y_1-1)^2+x_1^2}=\sqrt{6}\sqrt{6-(y_1+1)^2}\leq 6$

Từ đó suy ra tọa độ các điểm!

P/S Các bạn thử nghĩ xem làm sao ta tách ra như thế!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 08-04-2008 - 17:23

$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#13 superman_92

superman_92

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Bình+Huế

Đã gửi 07-04-2008 - 10:28

1, từ các phương trình suy ra:$x+y=7+z$
$x^2+y^2=37+z^2$
mà $xy= \dfrac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2} =6+7z$
$ x^3+y^3=1+z^3$
mà: $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=(7+z)^3-3(6+7z)(7+z)$
từ đó: $(7+z)^3-3(6+7z)(7+z)=1+z^3$biến đổi ta được 1pt bậc nhất suy ra $z=12$
thế vào ta được hệ: x+y=19, xy=90
ta được 2 bộ nghiệm:(9,10,12) và (10,9,12)
3, hình như đề phải thế này chứ:$x^2 \sqrt[n]{1-x} \leq ( \dfrac{2n}{2n+1})^2 \dfrac{1}{ \sqrt[n]{2n+1}$
ta có : $x^2 \sqrt[n]{1-x}= \sqrt[n]{x^2n(1-x)}=(2n)^2 \sqrt{ \dfrac{x}{2n} \dfrac{x}{2n}... \dfrac{x}{2n}(1-x) } \leq (2n)^2 \sqrt[n]{( \dfrac{ \dfrac{x}{2n} + \dfrac{x}{2n}+...+(1-x)}{2n+1})^(2n+1)}=( \dfrac{2n}{2n+1})^2 \dfrac{1}{ \sqrt[n]{2n+1}$
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{x}{2n}= 1-x $ hay $x= \dfrac{2n}{2n+1}$
MPhước,Toán, ĐHKH Huế

Hình đã gửi

#14 tanpham90

tanpham90

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Ho Chi Minh
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 07-04-2008 - 13:02

P/S Các bạn thử nghĩ xem làm sao ta tách ra như thế!

Chả cần suy nghỉ gì cả :D , cái này là hiển nhiên rồi vì điều kiện là $x_{B}^{2}+y_{B}^{2}=2$ và $x_{C}^{2}+y_{C}^{2}=5$ , hệ số đều là $(1,1)$ thì chỉ có BCS trực tiếp thôi chứ không cần cân bằng hệ số chi cho phức tạp thêm vấn đề :D .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanpham90: 07-04-2008 - 13:04

Chuyên toán ----- ĐHSP-TPHCM ----- 05-08

#15 lyxuansang91

lyxuansang91

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 08-04-2008 - 12:05

Có chú nào biết số điểm mỗi câu không
Năm nay hình như cả đề 20 mà 8 điểm là đâu huy chương bạc. Hic, cùi quá!!
Em muốn học giỏi toán

#16 huu khanh

huu khanh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Đã gửi 09-04-2008 - 09:27

em nghĩ kết quả của tanlsth là không chính xác chẳng hạn lấy p=3 ta thấy
$4 \equiv 16 \equiv 1 (mod 3) $ :D $2 \equiv \pm 4 (mod 3) $ là sai
đây là bài làm của em
nhận thấy 1 là nghiệm
ta chỉ cần xét $a \equiv b \equiv r (mod m), 0<r<m$
do $b \equiv -b (mod m)$ :D $2b \equiv 2r \equiv 0 (mod m)$
:D 2r=m (0<2r<2m)
bài toán trở thành $ \forall a \in Z ,\forall b \in Z , a^2 \equiv b^2 (mod m)$
:D $a \equiv b \equiv \dfrac{m}{2}(mod m)$
suy ra $\dfrac {m}{2} = 1$ (ngược lại $\exists a^2 \equiv b^2 \equiv 1 (mod m)$ :D
$a \equiv \pm b (mod m)$ là sai do $1< \dfrac {m}{2} < m-1$
vậy m={1,2}

#17 H.Quân- ĐHV

H.Quân- ĐHV

    An-tôn Páp-lô-vích Sê-Khốp

  • Thành viên
  • 530 Bài viết
  • Đến từ:Khối THPT chuyên Đại Học Vinh
  • Sở thích:toán và bóng đá

Đã gửi 09-04-2008 - 19:16

Có chú nào biết số điểm mỗi câu không
Năm nay hình như cả đề 20 mà 8 điểm là đâu huy chương bạc. Hic, cùi quá!!

ừ ,mình đọc kết quả thi mà thấy 9 điểm đã đc huy chương rồi .Pó tay
I hope for the best

Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

#18 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 09-04-2008 - 20:01

Thì lấy theo số phần trăm chứ đâu phải lấy theo điểm đâu Quân , làm trên 3 câu có giải là cái chắc ........... Mấy chú năng khiếu năm nay thj hình như ko mặn mà lém hã

#19 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1538 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 09-04-2008 - 22:34

So với kì 2006 tổ chức ở Đà Nẵng thì đề năm nay ( lớp 11)

Dở hơn hẳn

Toàn đa số là những bài cũ Và ko phân loại được ( câu hình là đề Olp từ lâu , bài dãy cũng là dạng quen thuộc)

Câu dễ thì quá nhảm nhì

Thậm chí học sinh lớp 7 cũng dư sức giải ( bài ineq)


Trong khi những câu khó thì quá khó


Và nói thật thì ngay cả 2 ứng viên IMO cũng ko giải được trong khi


Toàn bộ Học sinh trường chủ nhà đều làm được câu này ( câu 5)


Âu thôi thì đó cũng là sự thối nát trong thi cử ở Việt Nam


Dẫu biết đây chỉ là kì thi mang tính chia giải nhưng sự xuống cấp về mặt nội dung đề +


Sự lộ liễu trong việc chỉ có chủ nhà nắm Cơ hội quán quân trong tay vẫn làm Hero TVƠ buồn quá


Thử hỏi ko biết đến bao giờ mới có 1 cuộc thi công bằng giống như Mathlinks Contest tổ chức ở Việt Nam?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 10-04-2008 - 01:00

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#20 lovePearl_maytrang

lovePearl_maytrang

    MIM-nhạc điệu của toán học

  • Hiệp sỹ
  • 292 Bài viết
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:nhạc, tài chính, một chút lịch sử

Đã gửi 09-04-2008 - 22:57

Nếu ko tính LHP là đoàn chủ nhà thì LQĐ ĐN vẫn là số 1 (miền nam) âu đó cũng phản ánh đúng thực lực trong những năm gần đây :leq
Ghé thăm blog nhé:
http://360.yahoo.com/steppe2205




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh