Chủ đề này có 1 trả lời

[suguku]

Chứng minh $\left| {\dfrac{{a + b}}{{a - b}}} \right| + \left| {\dfrac{{b + c}}{{b - c}}} \right| + \left| {\dfrac{{c + a}}{{c - a}}} \right| \ge 2\forall a,b,c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-04-2012 - 18:17

[Tham Lang]

Mình có một lời giải sau đây, xin mọi người góp ý
Giải :
Bất đẳng thức tương đương :
$$\dfrac{(a + b)^2}{(a - b)^2} + \dfrac{(b + c)^2}{(b - c)^2} + \dfrac{(c + a)^2}{(c - a)^2} + 2\left (\left|\dfrac{(a + b)(b + c)}{(a - b)(b - c)}\right | + \left |\dfrac{(b + c)(c + a)}{(b - c)(c - a)}\right | + \left |\dfrac{(c + a)(a + b)}{(c - a)(a - b)}\right |\right ) $$ $$\ge -2\left (\dfrac{(a + b)(b + c)}{(a - b)(b - c)} + \dfrac{(b + c)(c + a)}{(b - c)(c - a)} + \dfrac{(c + a)(a + b)}{(c - a)(a - b)} \right ) - 2\left [\dfrac{(a + b)(b + c)}{(a - b)(b - c)} + \dfrac{(b + c)(c + a)}{(b - c)(c - a)} + \dfrac{(c + a)(a + b)}{(c - a)(a - b)}\right ]$$ $$ = -4\left [\dfrac{(a + b)(b + c)}{(a - b)(b - c)} + \dfrac{(b + c)(c + a)}{(b - c)(c - a)} + \dfrac{(c + a)(a + b)}{(c - a)(a - b)}\right ]$$
Đặt $x = \dfrac{a + b}{a - b} , y = \dfrac{b + c}{b - c}, z = \dfrac{c + a}{c - a}$
Lúc đó $$(x + 1)(y + 1)(z + 1) = \dfrac{8abc}{(a - b)(b - c)(c - a)}$$
$$(x - 1)(y - 1)(z - 1) = \dfrac{8abc}{(a - b)(b - c)(c - a}$$
Nên $$(x + 1)(y + 1)(z + 1) = (x - 1)(y - 1)(z - 1) \Leftrightarrow xy + yz + zx = -1$$
Nên $$VT^2 \ge -4(xy + yz + zx) = 4 \Leftrightarrow VT \ge 2$$
Bất đẳng thức đã được chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi $a = -b, c = 0$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 26-07-2012 - 16:15