Chủ đề này có 3 trả lời

[doanvanphien]

cho $a, b, c \geq 0$ thỏa mãn:$2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2=4$. chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{5}{2} $

[kiemkhachvotinh]

Bài này bạn đặt a=x+y;b=y+z;c=x+z
Ta có $xy+yz+zx=1$
Cần Cm
$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{z+y}+\dfrac{1}{x+z}\ge \dfrac{5}{2}$
Đến đây có nhiều cách làm

[lyxuansang91]

Bài này bạn đặt a=x+y;b=y+z;c=x+z
Ta có $xy+yz+zx=1$
Cần Cm
$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{z+y}+\dfrac{1}{x+z}\ge \dfrac{5}{2}$
Đến đây có nhiều cách làm

đến đây thì ta có thể làm như sau :
Không mất tính tổng quát giả sử $ x \geq y \geq z. $ .
Ta chọn số $ t > 0 $ sao cho $ t^2 + 2tz = xy + yz + zx = 1 \Rightarrow (t+z)^2 = (x+z)(y+z) = 1 + z^2 $

$ F(a,b,c) = \dfrac{1}{x+y} + \dfrac{1}{y+z} + \dfrac{1}{z+x} \geq \dfrac{2}{t+z} + \dfrac{1}{2t} $
$\Leftrightarrow (\dfrac{1}{\sqrt{x+z}} - \dfrac{1}{\sqrt{y+z}})^2 \geq \dfrac{(\sqrt{x+z}-\sqrt{y+z})^2}{2t(x+y)} $
$\Leftrightarrow (x+z)(y+z) \leq 2t(x+y) $

bây giờ ta thay $z=\dfrac{1-t^2}{2t}$ và CM $ F(t,t,z)=\dfrac{2}{t+z} + \dfrac{1}{2t} \geq \dfrac{5}{2} $

[zaizai]

Có vẻ như lời giải của ông Sang có chút vấn đề. Nhìn qua thì đẳng thức đạt được tại 1 thằng bằng 0. Nên nếu dồn biến thì ta sẽ chứng minh $f(a,b,c)\ge f(a,\dfrac{1}{a},0)$ hoặc $f(a,b,c)\ge f(b+c,\dfrac{1}{b+c},0)$. Bài trên thì rất là quen thuộc. Và cũng có khá nhiều cách giải.