Chủ đề này có 1 trả lời

[supermember]

Bài toán



Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn



$P(P(x)) + 1 = ( (P(x))^{2} + 2P(x) + (x^2 + 3x +1)^{2})^{2}$ với mọi số thực $x$

218 yêu thương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 23-04-2008 - 11:58

[MyLoveIs4Ever]

Giả sử $ P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_0 $ có $ deg=n \geq 2 $

dể thấy $ deg VT= n^2 $

hay số hạng lớn nhất của $ VT = a_n(a_nx^n)^n= a_n^{n+1}x^n^2 $

So sánh hệ số : ( có 2TH $ n=2 ; n > 2 ) $

$ a_n(a_nx^n)^n= ((a_nx^n)^2+x^4)^2 ; (n=2) ( $ (loại)

$ a_n(a_nx^n)^n= (a_nx^n)^4 ( n >2 ) $ => $ a_n=1 ; n=4 $

Hay $ deg P(x)=4 $

Đặt $ H(x)= P(x)-(x^2+3x+1)^2+1 $ có $ 3 \geq degH =p > 0 $

$ VP= (((P(x))^2+3P(x)-H(x)+1)^2= (((P(x))^2+3P(x)+1)^2-2H(x)(((P(x))^2+3P(x)+1)+(H(x))^2 $

Thay vào pt : $ P(P(x)) - (((P(x))^2+3P(x)+1)^2 +1 = H(x)(H(x)- 2(((P(x))^2+3P(x)+1)) $

$ <=> H(P(x))= H(x)(H(x)- 2(((P(x))^2+3P(x)+1)) $

$ <=> 4p = p+8 <=> p = \dfrac{8}{3} $ (vô lí) => $ H(x)= const = A $

Thay vào $ A=A(A-2(((P(x))^2+3P(x)+1)) $ ..... Dễ thấy 1 vế phụ thuộc vào biến x thay đổi , 1 vế thì không phụ thuộc nên $ A=0 $

Hay ta có $ P(x)= (x^2+3x+1)^2-1 = (x^2+3x)(x^2+3x+2)=x(x+3)(x+1)(x+2) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoveIs4Ever: 23-04-2008 - 15:59