Chủ đề này có 107 trả lời

[zaizai]

Em ko hiểu câu này cái em nói là kết quả đã có trước (thực ra khảo sát hàm 1 biến để tìm ra max chắc ai cũng làm đc) còn cm thì em ko thử vì cái số thập phân nó lẻ quá nên lười tính -> vì ko chứng minh với k đó nên em mới hỏi là anh Nesbit đã tìm đc số k tốt nhất đó chưa (1 phần khích anh ấy post lời giải ). Kết quả của anh Hùng yếu hơn nhưng dụng ý của anh ấy chắc là để tính toán được đẹp chứ ko phải là anh ấy ko tìm ra đc cực trị -> of course
Đằng nào đi nữa thì bài toán với $q=2$ cũng đã được giải quyết rồi và vẫn chưa thấy lời giải thứ 2 của anh Khuê (kế hoạch của em chưa thành ) ?! Nhưng có lẽ với những trường hợp cụ thể ta nên gạt bỏ để tập trung giải quyết bài tổng quát. Em còn mai nữa mới thi xong nên giờ chưa dám lôi giấy bút ra thử. Tối mai sẽ gắng xem sao. Nhưng mà nghe lời giải của anh Khuê ko đẹp thì nếu em có giải ra thì chắc là thà ko đọc còn hơn Bởi vì ở mấy forum người làm bdt đẹp mắt và nghệ thuật em thấy anh Hùng, anh Khuê, anh Cẩn, anh VA, anh Tân là những người đứng đầu rồi Hehe spam thế đủ rồi, em out đây. Hi vọng là forum cũng ko bị hack.

[vo thanh van]

Cách làm trên có 1 điểm hay là thoát ra được cái quan niệm hạn hẹp xưa nay là chỉ cố định $abc, ab + bc + ca$, hoặc $a + b + c$ mà ko để ý đến việc cố định $ABC, AB + BC + CA, A + B + C$ ( trong đó A, B, C là các biểu thức của $a, b, c$ ). Có 1 thực tế rằng cách làm trên rất hiệu quả với các bài toán đối xứng, gần như tất cả các bài đối xứng ta đều có thể đưa được về 1 biến ( điều này đã được trình bày trong phương pháp GLA sắp ra mắt ).

Nếu anh nói như vậy thì chắc $p,q,r$ cũng xử được bài này.Em chưa thử nhưng mà khi đã đưa về thành hàm một biến theo $p,q $hoặc $r$ thì việc tìm GTNN ko còn là việc khó khăn.Dù sao thì cũng chờ cái pp GLA của anh ra đời xem sao,em vẫn thấy nó hơi trâu bò ^^

[zaizai]

Nhận xét của ku Văn xem ra ko ổn rồi Nên nhớ bài này là hoán vị nên rõ ràng cái $A,B,C$ đâu có thể biến đổi về $p,q,r$ được ? Ngay cả bài trên việc biến đổi tất cả về $p,q,r$ là ko thể trừ khi có một kĩ thuật nào đó chuyển nó từ hoán vị về đối xứng. Cái khó ở bài toán này là ở chỗ đó
Ý tưởng cố định biến của anh VA nó khác với cố định biến cho $p,q,r$ (việc cố định này chủ yếu là đối với bdt đối xứng, khảo sát rồi đạo hàm theo 1 biến cố định, thường là $abc$ rồi theo chặn trên và chặn dưới của biến dựa vào tính đồng biến nghịch biến để giải hàm 1 biến) ở chỗ là $A,B,C$ ràng buộc theo $a,b,c$. Việc chọn đại lượng này xem ra còn chặt chẽ và lằng nhằng hơn nhiều.
Dù sao cũng đợi xem cu văn giải nó bằng $p,q,r$ như thế nào?

[zaizai]

Bài viết của mình còn 3 bài toán mở vẫn chưa giải được. Hi vọng sẽ có cao thủ xử giúp. Box BDT dạo này vắng vẻ hẳn đi.

Bài toán 2. Cho $q$ là số thực nằm giữa $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{13+5\sqrt{13}}{26} \approx 1.193375245$. Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho BDT sau đúng với mọi $a,b,c \ge 0$
$\dfrac{a}{\sqrt{a+qb}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+qc}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+qa}} \le k\sqrt{a+b+c}$

Wao, cuối cùng cũng thi xong Định phóng xe đi phá phách cùng lũ bạn nhưng mà nghĩ lại mấy bài của anh Nesbit nên ở nhà thử xem sao Phải nói là bắt tay vào thử mới thấy nó là một bài toán khó Em chưa thể giải quyết được ngay lúc này mà chỉ có một số tính toán nhỏ cộng thêm vài thắc mắc nhờ anh Khuê cùng mọi người giải đáp

Trước hết thì chúng ta nên đi theo từng phần riêng biệt để giải bài toán này. Tìm $k$ tốt nhất trước! Để đơn giản ta chuẩn hóa $a+b+c=1$. Đặt :

$f(a,b,c)=\dfrac{a}{\sqrt{a+qb}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+qc}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+qa}}$

Dự đoán rằng cực trị của hàm $f(a,b,c) $đạt được khi $c=0$. Việc tìm $k$ tốt nhất qui về việc tìm cực đại của hàm số sau:

$f(a)=\dfrac{a}{\sqrt{a+q(1-a)}}+\sqrt{1-a}$

Tính đạo hàm bậc nhất:

$f'(a)=\dfrac{a(1-q)+2q}{\sqrt{[a+q(1-a)]^3}}-\dfrac{1}{2\sqrt{1-a}}$

Bây giờ công việc quan trọng là tìm được nghiệm đạo hàm:

$f'(a)=0 \Leftrightarrow a^3(q-1)^2(q-2)+a^2(1-q)(3q^2-8q+1)+aq(3q^2-11q+4)+q^2(4-q)$

Việc giải được $a$ theo $q$ xem ra là rất khó khăn. Vì vậy ta chưa thể kết luận được cực đại của hàm này hay nói cách khác là chưa xác định được k Công việc bây giờ của chúng ta là chứng minh rằng phương trình trên luôn có ít nhất 1 nghiệm trong 1 khoảng xác định nào đó... Cái này thì em đang suy nghĩ thêm.

Em chưa hiểu dụng ý của anh Khuê là gì khi cho: $q\in \left[\dfrac{1}{2};\dfrac{13+5\sqrt{13}}{26}\right]$. Có lẽ cái này là đk cần nào đó trong chứng minh của anh
Nhìn chung thì chỉ mới bước tìm hằng số k tốt nhất cũng đã khó khăn rồi chứ chưa nói để việc xét hàm. Em ko thạo trong mấy bài tổng quát với cả hệ số nên cần thời gian từ từ để gặm nhấm cách thức Chỉ tạm spam tới đây đã. Có gì anh Khuê hướng dẫn thêm. Mà em vẫn chưa hiểu 3 bài toán mở này là do anh chưa giải quyết đc hay là chưa giải quyết đc triệt để? Tức là đã đưa về đc 1 biến như chưa tìm ra đc giá trị cụ thể hoặc giá trị bất kì của p?

[Bùi Việt Anh]

Em chưa hiểu dụng ý của anh Khuê là gì khi cho: $q\in \left[\dfrac{1}{2};\dfrac{13+5\sqrt{13}}{26}\right]$. Có lẽ cái này là đk cần nào đó trong chứng minh của anh

Vì 2 khoảng còn lại Nesbit đã giải quyết được rồi. Với 2 khoảng đó thì việc đưa về 1 biến đơn giản hơn khoảng trên nhiều. Rất có thể trong khoảng trên sẽ tồn tại giá trị của q để đẳng thức xảy ra khi 3 biến lệch nhau và khác 0. Khi này thì bài toán sẽ cực kì khó và có lẽ chỉ nên quan tâm đến việc làm sao để quy được về 1 biến thôi. Anh và Nesbit cùng đang bận nên hẹn 2 tháng sau sẽ nghiên cứu ra ngô ra khoai bài này sau. Zaizai thi xong rồi thì công phá trước đi nhé!

[vo thanh van]

Nhận xét của ku Văn xem ra ko ổn rồi Nên nhớ bài này là hoán vị nên rõ ràng cái $A,B,C$ đâu có thể biến đổi về $p,q,r$ được ? Ngay cả bài trên việc biến đổi tất cả về $p,q,r$ là ko thể trừ khi có một kĩ thuật nào đó chuyển nó từ hoán vị về đối xứng. Cái khó ở bài toán này là ở chỗ đó
Ý tưởng cố định biến của anh VA nó khác với cố định biến cho $p,q,r$ (việc cố định này chủ yếu là đối với bdt đối xứng, khảo sát rồi đạo hàm theo 1 biến cố định, thường là $abc$ rồi theo chặn trên và chặn dưới của biến dựa vào tính đồng biến nghịch biến để giải hàm 1 biến) ở chỗ là $A,B,C$ ràng buộc theo $a,b,c$. Việc chọn đại lượng này xem ra còn chặt chẽ và lằng nhằng hơn nhiều.
Dù sao cũng đợi xem cu văn giải nó bằng $p,q,r$ như thế nào?

uh,dù sao thì cũng phải thi học kì xong đã rồi mới thử được.Cái kĩ thuật biến đổi từ hoán vị về đối xứng thì mình cũng đã học được đôi chút rồi (phục vụ cho bài viết về p,q,r mà ),có lẽ cũng sẽ ra nhưng mà dài.Hôm nay spam thế thôi,khi nào làm ra rồi sẽ spam nhìu nhìu hơn.

[zaizai]

anyway, nên nhớ bài này còn chứa cả căn thức ở mẫu nên để chuyển về đối xứng cũng chả phải dễ đâu. Thường thì ta hay chuyển từ dạng hoán vị sang đối xứng được là vì qui về được dạng đa thức đơn giản. Sử dụng 1 số kết quả đã biết với các biểu thức hoán vị như: $a^2b+b^2c+c^2a,a^3b+b^3c+c^3a,\sum_{cyc} \dfrac{a}{b},...$ nhưng những bài kiểu như trên thì lại lằng nhằng hơn nhiều đấy. Hi vọng là "có lẽ cũng sẽ ra" của Văn có thể thực hiện được còn giải dài ko thành vấn đề (ý mình đang nói cho bài tổng quát ấy)!.
Hix ko hiểu sao mình cũng lười giải quá, thi xong rồi thấy chán làm Toán Mình đang thử đi tìm 1 con đường nào sáng sủa hơn, và cũng chưa thử dồn biến và chia trường hợp như bài $q=2$. Nói chung thì để giải được một cách chặt chẽ và hợp lý cộng đẹp mắt quả là một vấn đề đáng suy nghĩ !
@all: spam 1 tí cũng được, miễn là thảo luận sôi nổi, những ý kiến tạm chấp nhận đc thì chắc ko phải là spam rồi thoải mái mà post bài các bạn nhé, trong topic này vẻn vẹn cũng chỉ có mấy người có ý kiến thôi à Let try!

[vo thanh van]

anyway, nên nhớ bài này còn chứa cả căn thức ở mẫu nên để chuyển về đối xứng cũng chả phải dễ đâu. Thường thì ta hay chuyển từ dạng hoán vị sang đối xứng được là vì qui về được dạng đa thức đơn giản. Sử dụng 1 số kết quả đã biết với các biểu thức hoán vị như: $a^2b+b^2c+c^2a,a^3b+b^3c+c^3a,\sum_{cyc} \dfrac{a}{b},...$ nhưng những bài kiểu như trên thì lại lằng nhằng hơn nhiều đấy. Hi vọng là "có lẽ cũng sẽ ra" của Văn có thể thực hiện được còn giải dài ko thành vấn đề (ý mình đang nói cho bài tổng quát ấy)!.

Mình biết mà,bài này nếu sử dụng trực tiếp $p,q,r$ thì sẽ khó nên mình nghĩ sẽ áp dụng 1 BDT cổ điển rùi biến đổi,sử dụng $p,q,r$ là đẹp.Tuy nhiên ý tưởng thì vẫn là ý tưởng,dù sao thì cũng hi vọng một lời giải đẹp từ pp này.Trước hết mình thử với TH $p=2$ đã rồi tính đến trường hợp tổng quát sau

Hix ko hiểu sao mình cũng lười giải quá, thi xong rồi thấy chán làm Toán

Cái này rất đúng với tâm trạng khi thi xong mà,cứ nghỉ ngơi thoải mái đi ku.Hè này có định vào Huế nữa ko?

[zaizai]

Không phải khi nào số k tốt nhất cũng có thể tính chính xác được. với k nằm trong khoảng của anh Khuê thì cứ thử với vài k là không giải đc cái phương trình bậc 3 đó với nghiệm theo căn (công thức cardano chắc vẫn xài đc nhưng lằng nhằng )!. Một kết quả khá đẹp với $ k=4$ ta có bất đẳng thức:
Cho $a,b,c\ge 0$. Tìm hằng sớ k tốt nhất sau cho:
$\dfrac{a}{\sqrt{a+4b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+4c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+4a}} \le k\sqrt{a+b+c}$

Số k cho bài này hơi khủng hoảng 1 tí nhưng vẫn đẹp chán

[Bùi Việt Anh]

Với q cụ thể thì chuyển về đối xứng còn khả thi chứ q bất kì e là ko chuyển được đâu. Nếu có q sao cho đẳng thức xảy ra tại 3 điểm lệch nhau, khác 0 thì chắc chắn ko được. Nếu có thể chuyển được về đối xứng thì GLA giải quyết ngon. Nhưng bài này ko đơn giản như vậy. Trò p, q, r theo cá nhân tôi chỉ thích hợp cho những bài nho nhỏ thôi.

[zaizai]

Đúng là như vậy, em đồng ý với anh VA. $p,q,r $ khó mà giải quyết những bài toán "lớn" như thế này. Em ko biết là có tồn tại $q$ để đẳng thức xảy ra tại 3 thằng lệch nhau và khác 0 hay ko? Nhưng ngay cả khi có 1 thằng bằng 0 chứng minh cũng đã khó rồi. Em thử vài cách (dồn biến thông thường) mà vẫn chưa solve nổi một cách hoàn toàn bài này. Nếu như theo ý tưởng với bài $q=2$ thì với bài tổng quát ta xét theo 2 hướng: $a\ge 2b$ và $a\le 2b$... Trong đó có trường hợp, em reduce về 1 cái pt bậc 4 theo q với hệ số theo $q^4$ và $q^3$ dương và khá đẹp nhưng hệ số theo $q^2$ và q cùng với hệ số tự do chưa xét dấu đc do em lười + ngại. Vì với hằng số q bất kì nên việc xét dấu cũng khó. Nói chung thử bằng dồn biến xem ra rất vất vả vì biến đổi mệt nhọc Có lẽ phải chuyển hướng qua con đường khác thôi
Nhân tiện đây bàn về những bài hoán vị mà đẳng thức lệch nhau hoàn toàn. Có nhiều bài như vậy không và nếu có thì với những pp toán học hiện nay liệu có thể giải quyết? Ai có thể cho em một số ví dụ kiểu như vậy ko? Em chỉ mới biết mỗi bài $k=5$ của cậu bé quàng khăn đỏ bên MnF thôi à

[toanhocmuonmau]

Với q cụ thể thì chuyển về đối xứng còn khả thi chứ q bất kì e là ko chuyển được đâu. Nếu có q sao cho đẳng thức xảy ra tại 3 điểm lệch nhau, khác 0 thì chắc chắn ko được. Nếu có thể chuyển được về đối xứng thì GLA giải quyết ngon. Nhưng bài này ko đơn giản như vậy. Trò p, q, r theo cá nhân tôi chỉ thích hợp cho những bài nho nhỏ thôi.

Anh Việt Anh nói như vậy thì xin mời anh dùng GLA để giải 3 bài toán sau. Nếu GLA thực sự mạnh như anh "quảng cáo" thì chắc là không vấn đề gì khi giải đâu nhỉ.
1) Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge \sqrt{\dfrac{14(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca} -5}$
2) Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng
$ \dfrac{a+2c}{a+2b}+\dfrac{b+2a}{b+2c}+\dfrac{c+2b}{c+2a} \ge \sqrt{\dfrac{5(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca} +4}$
3) Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng
$(a^3+b^3+c^3)^2 \ge 2(a^5b+b^5c+c^5a)+abc(a^3+b^3+c^3)$
Nói thật lòng anh đừng giận nếu có gì quá đáng, tôi thấy anh chỉ toàn nói thôi chứ chưa bao giờ giải một bài toán cụ thể cả. Và anh nói chuyện có vẻ rất "người trên" nữa. Anh nói $pqr$ chỉ thích hợp cho những bài toán nhỏ vậy xin mời anh hãy dùng "chiêu bài toán lớn" GLA để giải 3 bài "nhỏ" trên, mà $pqr$ đã giải quyết được chúng. Do đó xin mời pác GLA giải quyết hộ?!
Sorry to all members, lúc này mình bị stress rất nặng nên khi thấy những bài spam hoặc những bài nói suông, mình rất bực mình.

[Bùi Việt Anh]

Bao nhiều người spam sao chú ko đố mà lại chọn anh làm người xả stress thế?. Mấy đứa trong đây đều kém tuổi anh, đặc biệt là với Nesbit và zaizai thì xem nhau như anh em rồi nên có thái độ bề trên chút thì cũng đâu có sao? Chẳng lẽ biết thừa kém 1 đống tuổi rồi còn gọi bạn xưng tôi hả? . Mà chú đọc kĩ lại bài viết của anh cái, anh nói là đối xứng thì GLA giải quyết được chứ đâu có nói hoán vị? Mấy bài chú đưa lên anh khẳng định là anh giải ngon đấy, nhưng tội quái gì anh phải bỏ time ra giải những bài mang ý thách thức thế này. Anh biết chú có nhiều bài hay, sao lại đưa 3 bài cũ mèm lên đây thế hả? ( bài 3 thì gần được 2 năm rồi đấy Nesbit nhỉ? ). Thừa nhận là dạo này anh hay nói suông nhưng 1 phần vì anh tham gia chủ yếu bên MnF, mà cái thời anh tham gia sôi nổi bậc nhất box BĐT thì chú đã tham gia đâu:D
Về PP p,q,r thì nó chỉ mạnh khi được kết hợp với các PP khác như khảo sát hàm thôi chứ cá nhân nó cũng chẳng có gì lắm. Nói nó thích hợp với những bài nhỏ ở đây có nghĩa là với 1 bài khó thì việc dùng nó sẽ vất vả hơn nhiều so với PP khác.
Ngoài lề chút : anh cũng có nghe phong thanh chú gặp chuyện khó khăn nhưng cách đối xử của chú đối với Trần Phương ko được hay đâu. Anh nói đỡ hộ chú rồi chứ ko chú sẽ gặp nhiều phiền toái đấy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bùi Việt Anh: 08-05-2008 - 23:54

[Bùi Việt Anh]

Định đi ngủ rồi nhưng sợ hôm sau chú lên đọc lại ấm ức nên đành nói rõ hơn về vài vấn đề vậy.
Về PP p,q,r: Nó là con cùng mẹ khác cha với phần đầu của PP ABC ( chỉ là phần đầu thôi nhé! vì ABC mở rộng có nhiều cái hay ho hơn nhiều ) và là con cùng cha khác mẹ với PP p,R,r ( ko phải GLA, mà chỉ là phần mở đầu của GLA ). Bởi ba PP này đều dựa trên nền tảng là mọi đa thức đối xứng 3 biến đều biểu diễn được dưới dạng abc, ab+bc+ca, a+b+c. Thậm chí ABC và p,R,r còn mạnh hơn vì ABC chứng minh được cho cả số âm; p,R,r có nhiều bổ đề giữa 3 biến trong đó có 1 BĐT rất mạnh là Bludon. Thêm nữa 2 PP này đều có những định lý để đưa nhiều bài toán được về 1 biến nhanh chóng trong khi p,q,r ko làm được điều này. Do vậy mà mọi bài giải quyết được bằng p,q,r thì ABC và p,R,r đều giải quyết được.
Về chuyện dạo này hay nói suông mà ko giải cụ thể :
1. Hơn 2 năm trước anh cũng như Kim Hùng đều khản cổ lên cãi với những anh đi trước như kakalotta, Lim ... khi các anh ấy cho rằng làm nhiều BĐT thật là lãng phí thời gian. Nhưng dần dần thì cũng thấm thía những lời các anh ấy nói.
2. Ko post bài giải trên diễn đàn nhưng anh đã dồn hết tâm huyết vào cuốn sách xuất bảo sắp tới với anh Trần Phương rồi. Thiết nghĩ viết 1 cuốn sách tỉ mỉ dành cho bạn đọc thì còn ý nghĩa hơn nhiều việc giải những bài vụn vặt trên diễn đàn.
3. Cùng lúc phân tán sức lực trên nhiều mặt trận như học những môn chuyên ngành, MnF,... thì thời gian dành cho DDTH chỉ còn là đọc và nói qua loa vài điều thôi.
4. Thời điểm cách đây 2 --->3 năm thì đóng góp của anh cho cái box BĐT này cũng khá nhiều rồi. Giờ có nói lăng nhăng chút thì cũng chẳng đến mức chú tức giận thế đâu.

@ Điều cuối cùng anh muốn nói là mong chú sớm vượt qua những khó khăn hiện tại. Anh nói năng có khó nghe chút nhưng thề có chúa, anh khen chú cũng hơi bị nhiều đấy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bùi Việt Anh: 08-05-2008 - 12:26

[zaizai]

anh Cẩn hơi nóng tính rồi, topic này một phần cũng là cơ hội giao lưu gặp gỡ của các anh em sau một thời gian dài vắng bóng, ngay cả sự xuất hiện của anh VA cũng là vui vẻ rồi ko nên quá nghiêm túc và bắt buộc phải có lời giài. Em nói vậy ko phải là bênh vực ai nhưng giữ tinh thần hòa hảo giữa các member cũng là nhiệm vụ của CTV anh à Đúng là anh Việt Anh có nói nhiều tới GLA (nhưng ít khi giải chi tiết 1 bài bằng GLA) cái này thì đúng là hơi khó chịu thật nhưng chắc anh ấy có lý do của anh ấy. Em nghĩ 1 phần là vì quyển sách chưa xuất bản nên chưa tiết lộ đc, một phần cũng do anh Việt Anh khá lười nhác Có thể những nhận xét trong topic này hơi "ngông nghênh" nhưng mà ... đôi khi sướng miệng cũng phán cho nó vui cửa vui nhà Cái này mọi người sẽ rút kinh nghiệm sau.

Anyway, mọi người đều rất khâm phục anh về các bài toán đẹp mắt và lời giải sáng tạo. Riêng em thì luôn coi anh là top 5 người giỏi bdt sơ cấp của Việt Nam mình và em nghĩ anh Việt Anh cũng khen anh rất nhiều đấy, mọi người cũng vậy. Mong anh sớm vượt qua hoàn cảnh hiện tại để tiếp tục vui sống và tìm ra những điều mới mẻ hơn trong bất đẳng thức cũng như các lĩnh vực khác anh đang theo đuổi. Còn những bài trong topic này nếu anh có thời gian thì thử giải quyết xem nhé. Em rất mong sẽ sớm thấy lời giải của anh

Bàn thêm một chút về các pp đã nêu trên. p,q,r không phải là yếu nhưng để giải bài toán 2 của anh Khuê xem ra rất khó (em chỉ hạn hẹp nó trong bài này thôi chứ bài khác em ko xét tới vì ngay chính em cũng luôn bất ngờ vì p,q,r bởi lời giải rất đẹp cho một số bài toán khó ). Đó cũng chỉ là nhận xét chủ quan thôi vì em chưa thử p,q,r cho bài này. Thứ nhất là vì bài này dạng phân thức chứa căn hoán vị giữa 3 phân thức. Và ý tưởng đánh giá chỉ có thể đánh giá riêng với VT còn VP là hằng số k tốt nhất rồi, qui đồng rồi đổi biến về p,q,r dạng hoán vị như 10maths đã giới thiệu ở các forum chắc sẽ rất dài chưa kể có thể đánh giá dễ dàng hay ko. Có thể nhận định này là sai nhưng cũng ko hẳn là ko có lý ! Cá nhân em thì vẫn thích p,q,r thuần túy với Schur và chia ra các trường hợp đánh giá thôi. Dù nó ko quá mạnh nhưng đẹp mắt hơn nhiều


Em cũng nghe anh Cẩn có 1 kỹ thuật mới để chứng minh bdt Hoán vị. Trên ML có 1 topic chứa 1 số bài toán nhưng chưa thấy tiết lộ gì thêm. Em cũng tò mò muốn biết kĩ thuật đó là gì vậy anh ?!
Lâu rồi mới thấy nhiều anh em tụ họp thế này, box bdt "đắt hàng" rồi

[toanhocmuonmau]

Đầu tiên, em xin được xin lỗi anh Việt Anh về những lời lẽ ấy. Bây giờ thì em đã hiểu anh, mong anh bỏ qua cho em, dạo này như đã nói, em cảm thấy mình rất khó chịu và rất dễ bực, tụi bạn trong lớp cũng nói em thế nữa. Em cũng chẳng biết sao mình lại thế này nữa...

[Bùi Việt Anh]

Vì cuốn sách chưa xuất bản nên anh ko được phép công bố GLA, mới chỉ đưa lên MnF 1 vài công thức cơ bản thôi. Anh cũng tưởng cuốn sách sẽ xuất bản từ hơn 1 năm trước nên có nói về GLA hơi sớm vì nghĩ nó săp đến tay bạn đọc. Nếu biết sách XB chậm thế thì cũng chẳng đả động gì đến nó đâu. Xin lỗi tất cả mọi người nhé!

[zaizai]

Mọi người hiểu nhau là tốt rồi, người ta nói ko cãi nhau thì ko thành bạn (chống chỉ định với bạn gái ). 3 bài anh Cẩn vừa post em chưa có thời gian để thử với p,q,r nhưng mà chuyển về đối xứng thì cũng có cách Vì giải mãi mà chưa xong đc bài 2 của anh Khuê nên em đành quay sang với mấy bài của anh Cẩn vậy

1) Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge \sqrt{\dfrac{14(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca} -5}$

Để chứng minh bài này thì đầu tiên ta cần tới một bổ đề khá chặt để chuyển biểu thức hoán vị $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$ về dạng đối xứng. Ta có môt kết quả quen thuộc sau (đây là một bổ đề khó, theo em là thế):
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge 3\sqrt[5]{\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)^4}$

Từ đó ta chỉ cần chứng minh hàm số sau luôn dương:
$f(x)=3\sqrt[5]{x^4}-\sqrt{14x-5},\forall x\ge 1$

Trong đó $x=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$

Cái này không khó. Có thể dùng đạo hàm hoặc mũ 10 nó lên Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$59049(x-1)^7(x+7)+28(x-1)^5(59049x+39841)+18[7(x-1)^3(19085x-10481)+81(x-1)(154x-145)] \ge 0,\forall x\ge 1$

Kết quả chặt hơn sau vẫn đúng:
$\dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{c} + \dfrac {c}{a}\ge \sqrt {\dfrac {143(a^{2} + b^{2} + c^{2})}{10(ab + bc + ca)} - \dfrac{53}{10}}$

[toanhocmuonmau]

Mọi người hiểu nhau là tốt rồi, người ta nói ko cãi nhau thì ko thành bạn (chống chỉ định với bạn gái ). 3 bài anh Cẩn vừa post em chưa có thời gian để thử với p,q,r nhưng mà chuyển về đối xứng thì cũng có cách Vì giải mãi mà chưa xong đc bài 2 của anh Khuê nên em đành quay sang với mấy bài của anh Cẩn vậy
Để chứng minh bài này thì đầu tiên ta cần tới một bổ đề khá chặt để chuyển biểu thức hoán vị $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$ về dạng đối xứng. Ta có môt kết quả quen thuộc sau (đây là một bổ đề khó, theo em là thế):
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge 3\sqrt[5]{\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)^4}$

Bổ đề này của em ko đúng Hoàng ạ. Cho $a=3.5,b=1.5,c=1$
Nhưng kết quả sau thì đúng (dù lời giải của anh rất phức tạp)
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge 3\left( \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)^{7/10}$

[zaizai]

Vâng, cái bổ đề đó là của anh Tân em chỉ dùng lại thôi... ko ngờ nó sai
Nó cũng xuất phát từ bài sau: Tìm hằng số k tốt nhất sao cho với $a,b,c\ge 0$ thì

$\dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{c} + \dfrac {c}{a} \ge 3\left(\dfrac {a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ca}\right)^k$

Hằng số tốt nhất cho bài này hình như ko tính cụ thể đc. Cái số mũ của anh chắc cũng là lấy cho chắn thôi phải ko ạ? Dùng bổ để này thì bài toán trước của anh vẫn được giải quyết. Vì ta có:
$f(x)=3\sqrt[10]{x^7}-\sqrt{14x-5}\ge 0, \forall x\ge 1$

Không biết lời giải gốc của anh thế nào chứ bài này chuyển về chứng minh bổ đề cũng rất khó rồi