Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Ba bài toán mở


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 107 trả lời

#1 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-04-2008 - 02:00

Bài viết của mình còn 3 bài toán mở vẫn chưa giải được. Hi vọng sẽ có cao thủ xử giúp. Box BDT dạo này vắng vẻ hẳn đi.

Bài toán 1. Tìm số thực $k$ nhỏ nhất sao cho BDT sau đúng với mọi $a,b,c,d \ge 0$:
$\dfrac{a}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+d}}+\dfrac{d}{\sqrt{d+a}} \le k\sqrt{a+b+c+d}$

Bài toán 2. Cho $q$ là số thực nằm giữa $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{13+5\sqrt{13}}{26} \approx 1.193375245$. Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho BDT sau đúng với mọi $a,b,c \ge 0$
$\dfrac{a}{\sqrt{a+qb}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+qc}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+qa}} \le k\sqrt{a+b+c}$

Bài toán 3. Cho $k$ là số thực dương nhỏ hơn $1$. Tìm M nhỏ nhất sao cho BDT sau đúng với mọi $a,b,c \ge 0$
$\dfrac{a}{(a+b)^k}+\dfrac{b}{(b+c)^k}+\dfrac{c}{(c+a)^k} \le M(a+b+c)^{1-k}$
Dự đoán: $M=\max \left(\dfrac{3^k}{2^k},1+k(1-k)^{\dfrac{1-k}{k}}\right)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbitt: 20-09-2011 - 00:23

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#2 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng <br>đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 26-04-2008 - 04:27

Về bài toán mở thứ nhất anh có thể xem qua blog của cu Shalex bên Mathlinks ^_^
http://www.mathlinks...blog.php?w=1062
Và xem chút thông tin được cụ Ji Chen cung cấp sau khi cụ đại khai sát giới mở maple tiêu diệt ^_^
http://www.mathlinks...ic.php?t=140587
Đẳng thức thì rõ là quái gỡ vì 3 thằng lệch nhau còn 1 thằng tiến về 0. Xem ra vẫn còn có cơ giải quyết ^_^ Em post lại các tính toán của Jichen để mọi người tham khảo thêm ^_^

And there is another question: for all $x,y,z,w > 0$ such that $x + y + z + w = 1$, what's the supremum of

$\dfrac {x}{\sqrt {x + y}} + \dfrac {y}{\sqrt {y + z}} + \dfrac {z}{\sqrt {z + x}} + \dfrac {w}{\sqrt {w + x}}$

The supremum$ k = 1.4352668092582209310763\cdots$ is a root of the irreducible polynomial

$16k^{16} + 215k^{14} - 6520k^{12} - 119315k^{10} + 2624314k^{8} - 13071319k^{6} + 47083212k^{4}$
$- 63453437k^{2} + 2805634$

Which is achieved in the case:

$x = 0.57342129895395259025749\cdots$ is a root of the irreducible polynomial

$3016x^{8} - 30106x^{7} + 130587x^{6} - 320588x^{5} + 485356x^{4} - 461664x^{3} + 267664x^{2}$
$- 85824x + 11584$

$y = 0.23242913083753598063825\cdots$ is a root of the irreducible polynomial

$1508y^{8} + 14679y^{7} + 58928y^{6} + 124964y^{5} + 147560y^{4} $
$+ 90672y^{3} + 19264y^{2}- 4752y - 1600$

$z = 0.19414957020851142910425\cdots$ is a root of the irreducible polynomial

$754z^{8} - 5845z^{7} + 19716z^{6} - 37935z^{5} + 45610z^{4} - 35003z^{3} + 16560z^{2} - 4241z + 400$

and $w\rightarrow 0$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 11-07-2011 - 21:30


#3 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng <br>đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 26-04-2008 - 04:31

Cụ thể là ở post này:
http://www.mathlinks...1089483#1089483
Và post này:
http://www.mathlinks...pic.php?t=98684

#4 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-04-2008 - 18:50

Cảm ơn zaizai, mấy cái đó anh biết cả rồi.
Bài số 1 coi bộ không thể tìm được kết quả chính xác. Có một mệnh đề khá thú vị mà ta có thể chứng minh là: nếu giả sử $a+b+c+d=1$ thì biểu thức ở Vế trái sẽ đạt giá trị lớn nhất khi có một số bằng $0$.
Bài số 2 mình đã giải quyết được trong trường hợp $0<q< \dfrac{1}{2}$ hoặc $q \ge \dfrac{13+5\sqrt{13}}{26} $. Trường hợp $q=2$ là một bài toán mạnh hơn kết quả quen thuộc sau đây của anh Hùng:
$\dfrac{a}{\sqrt{a+2b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+2c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+2a}} \le \sqrt{\dfrac{3}{2}}$
với $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=1$.
Bài số 3 thì chưa có hướng giải.
Ai có ý kiến gì không nhỉ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 11-07-2011 - 21:32

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#5 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng &lt;br&gt;đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 26-04-2008 - 20:22

Để chứng minh cực đại của hàm $f(a,b,c,d)$ xảy ra khi có 1 thằng bằng 0 xem ra cũng chả đơn giản tí nào :D Em định thử dùng dồn biến thông thường là chứng minh: $f(a,b,c,d)\le f(a,b,c+d,0)$ nhưng xem ra việc này ko dễ vì còn chứa vài cái căn. Cụ thể là phải chứng minh:
$ \dfrac{d^2(a-c)}{(c+d)(d+a)}+\dfrac{2b^2}{\sqrt{(b+c)(b+c+d)}} \ge \dfrac{b^2d}{(b+c)(b+c+d)}+\dfrac{2d^2}{\sqrt{(c+d)(d+a)} $

Việc này chắc cần nhiều time hơn, mà em thì chả có đủ kiên nhẫn để tiếp tục :D Ý tưởng dùng dồn biến kết hợp hàm số hình như đã tử nạn ngay với cả trường hợp 3 biến rồi (cái này anh Khuê có nói ở VIF, phản biện lời giải của anh Tân là sai -> lời giải trong sách của thày Thuận cũng sai theo ). Điều này càng khiến em ngại thử hơn nữa :D
Nhớ lại trường hợp 3 biến thì anh Hùng có một lời giải rất đẹp bằng dồn biến toàn miền. Với bài này liệu có dồn biến được không. Mong các bạn tiếp tục thảo luận. Mình spam mấy dòng đừng trách :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 11-07-2011 - 21:33


#6 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng &lt;br&gt;đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 26-04-2008 - 20:44

Ý tưởng đánh giá trực tiếp rằng $f(a,b,c,d)\le f(a,b,c,0)$ xem ra càng ko ổn vì sau khi bình thương 2 lần thì ta có:
$d^4-(2ca+4c^2)d^2-(4c^2a+4c^3)d-(-c^2a^2+4c^3a)\ge 0$

Linh cảm cho thấy bdt này cũng nhiều khả năng ko đúng :D Ko biết ý tưởng cho bài 1 của anh Khuề là gì?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 11-07-2011 - 21:33


#7 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-04-2008 - 22:17

Việc này chắc cần nhiều time hơn, mà em thì chả có đủ kiên nhẫn để tiếp tục :D Ý tưởng dùng dồn biến kết hợp hàm số hình như đã tử nạn ngay với cả trường hợp 3 biến rồi (cái này anh Khuê có nói ở VIF, phản biện lời giải của anh Tân là sai -> lời giải trong sách của thày Thuận cũng sai theo). Điều này càng khiến em ngại thử hơn nữa :D
Nhớ lại trường hợp 3 biến thì anh Hùng có một lời giải rất đẹp bằng dồn biến toàn miền. Với bài này liệu có dồn biến được không. Mong các bạn tiếp tục thảo luận. Mình spam mấy dòng đừng trách :D

Lời giải của anh Hùng (cho trường hợp 3 biến) cũng sai em ạ (sai như thế nào thì em tự tìm nhé). Nhưng anh đã sửa lại rồi.
Mấy kiểu dồn biến của em ở trên cũng không đúng đâu, ở mỗi cái BĐT ở trên em cứ cho a=b=c=d là thấy.
Ý tưởng của anh là phản chứng và hàm số, sau này anh sẽ post lên nếu có thời gian.
Nếu zaizai có thời gian thì anh nghĩ nên tập trung xử bài 2 xem sao, anh nghĩ là dồn biến được đấy.

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#8 tanpham90

tanpham90

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Ho Chi Minh
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 27-04-2008 - 00:29

Việc này chắc cần nhiều time hơn, mà em thì chả có đủ kiên nhẫn để tiếp tục :D Ý tưởng dùng dồn biến kết hợp hàm số hình như đã tử nạn ngay với cả trường hợp 3 biến rồi (cái này anh Khuê có nói ở VIF, phản biện lời giải của anh Tân là sai -> lời giải trong sách của thày Thuận cũng sai theo ). Điều này càng khiến em ngại thử hơn nữa :D
Nhớ lại trường hợp 3 biến thì anh Hùng có một lời giải rất đẹp bằng dồn biến toàn miền. Với bài này liệu có dồn biến được không. Mong các bạn tiếp tục thảo luận. Mình spam mấy dòng đừng trách :D

Hôm đó bận quá chưa coi kỹ mấy cái nhận xét của anh Nesbit , mấy ngày sau thì VIF die nên không check được , mà nếu lời giải đó sai thì lời giải của anh kimluan trong file dồn biến có lẽ cũng sai luôn vì lời giải của em chẳng qua là tổng quát lên từ lời giải đó , hay nói rõ hơn là thay k=1 vô thì đó chính là lời giải của anh kimluan :D , và lời giải đó chỉ là để tham khảo chứ chưa có trong sách nào cả , một phần vì ai cũng ngại check những lời giải khủng !
Chuyên toán ----- ĐHSP-TPHCM ----- 05-08

#9 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng &lt;br&gt;đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 27-04-2008 - 12:51

Bài số 2 mình đã giải quyết được trong trường hợp $0<q< \dfrac{1}{2}$ hoặc $q \ge \dfrac{13+5\sqrt{13}}{26} $. Trường hợp $q=2$ là một bài toán mạnh hơn kết quả quen thuộc sau đây của anh Hùng:
$\dfrac{a}{\sqrt{a+2b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+2c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+2a}} \le \sqrt{\dfrac{3}{2}}$
với $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=1$.


Trường hợp $p=2$ cũng là một bài toán khó :D Em chỉ mới giải quyết cho trường hợp đơn giản nhất là $c\ge b\ge a$, trường hợp còn lại thì chỉ mới giải quyết được một phần còn lại sau đó vẫn phải sử dụng ý tưởng của anh Cẩn :D Em post sơ lược cái ý tưởng:
$\bullet$ Trường hợp: $c\ge b\ge a$ khi đó sử dùng bất đẳng thức Cauchy-Schawrz ta có:

$\left(\dfrac{a}{\sqrt{a+2b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+2c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+2a}}\right)^2\le (a+b+c)\left(\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{b+2c}+\dfrac{c}{c+2a}\right)$


Từ giả thiết $a+b+c=1$ ta chỉ cần chứng minh rằng:

$\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{b+2c}+\dfrac{c}{c+2a}\le \dfrac{3}{2}$


Chứng minh điều này không khó. Ta có thể làm như sau. Đặt $x=\dfrac{b}{a},y=\dfrac{c}{a}\to y\ge x\ge 1$. Khi đó ta có:

$\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{b+2c}+\dfrac{c}{c+2a}\le \dfrac{3}{2}$

$ \Leftrightarrow 21abc+4(ab^2+bc^2+ca^2)\ge 2(a^2b+b^2c+c^2a)$

$ \Leftrightarrow 27(x+y)+2(x-1)^2+2(y-1)^2+(x-1)(y-1)(6y-4y+23)\ge 27$

Điều này hiển nhiên đúng :D Đẳng thức không xảy ra.

$\bullet$ Trường hợp: $c\le b\le a$. Trường hợp này khó hơn rất nhiều. Ban đầu em thử chứng minh $f(a,b,c)\le f(a+c,b,0)$ nhưng rất tiếc bất đẳng thức này không đúng hoàn toàn (mà chỉ đúng cho $a\ge 4b$). Sau đó em tìm thấy lời giải trong 1 file của anh Cẩn cho trường hợp này. Chia 2 trường hợp con con nữa ta có:

+ Khi $a\ge 4b$ thì

$f(a,b,c)\le f(a+c,b,0)=\dfrac{a+c}{\sqrt{a+c+2b}}+\sqrt{b}$



+ Khi $a\le 4b$ thì lại có 1 kiểu dồn biến rất quái đó là:

la$f(a,b,c)\le f \left(a+\dfrac{c}{2},b+\dfrac{c}{2},0)\right)=\dfrac{a+\dfrac{c}{2}}{\sqrt{a+\dfrac{3c}{2}+2b}}+\sqrt{b+\dfrac{c}{2}}$


Rõ ràng cả 2 ý tưởng trên có cái lạ có cái cũ. Trường hợp $a\ge 4b$ ta dồn cho 1 thằng bằng $0$ và 2 thằng con lại thì lệch nhau. Nên rõ ràng từ điều kiện và sự đơn điệu của biến số ta sẽ nghĩ đến ngay rằng $ f(a,b,c)\le f(a+c,b,0)$. Trường hợp $a\ge 4b$ thì thực ra kiểu dồn biến có trước còn trường hợp chia sau :D Ý tưởng của kiểu dồn biến này là cho 1 thằng bằng 0 và 2 thằng còn lại bằng nhau. Từ điều kiện thì ta cần xác định $t$ sau cho $ f(a,b,c)\le f(t,t,0)$ trong đó thỏa mãn điều kiện ràng buộc. Tức là

$a+b+c=1 \Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{2t+c}{2}=a+\dfrac{c}{2}=b+\dfrac{c}{2}$


Điều này chứng tỏ là mọi ý tưởng đều rất tự nhiên và không phải từ trên trời rơi xuống. Nhưng xem ra lời giải này vẫn còn dài dòng và phức tạp!

Như vậy trong trường hợp này ta đều chứng minh được cực đại của hàm $f(a,b,c)$ sẽ đạt được khi một thằng bằng $ 0$. Công việc còn lại khá đơn giản.

Không biết lời giải của anh Khuê là gì? Hi vọng sớm được thấy lời giải đẹp của anh Khuê và cả anh Tân cùng mọi người nữa :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 11-07-2011 - 21:38


#10 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-04-2008 - 19:01

Hôm đó bận quá chưa coi kỹ mấy cái nhận xét của anh Nesbit , mấy ngày sau thì VIF die nên không check được , mà nếu lời giải đó sai thì lời giải của anh kimluan trong file dồn biến có lẽ cũng sai luôn vì lời giải của em chẳng qua là tổng quát lên từ lời giải đó , hay nói rõ hơn là thay k=1 vô thì đó chính là lời giải của anh kimluan image001.gif , và lời giải đó chỉ là để tham khảo chứ chưa có trong sách nào cả , một phần vì ai cũng ngại check những lời giải khủng !

Lời giải của kimluan thì anh không biết, nếu em tổng quát từ lời giải đó lên thì tất nhiên là nó cũng không đúng rồi. Nếu em cần check lại thì post lên đây để anh chỉ lại cho, zaizai cũng có đọc rồi nhỉ.
"một phần vì ai cũng ngại check những lời giải khủng": đúng image004.gif Lần đầu đọc anh còn không dám huống hồ là check Nhưng khi viết bài thì cái gì cũng phải check, nên mới thấy.... image004.gif

@zaizai: kết quả đó yếu mà em, quên nó đi. Vả lại hướng đi của em có lẽ cũng dài, nhỉ.

Mình đã quyết tâm là từ đây đến hè không động một tí não nào cho BDT, nên các bạn thảo luận thì cứ "lánh xa" chữ Nesbit ra nhé image004.gif Mình chỉ post chủ đề để các bạn thảo luận, không có ý định thảo luận cùng. Cứ tiếp tục thế này chắc là "phá giới" mất image004.gif

Hôm sau mình sẽ post kết quả cho trường hợp bài toán 2 với q=2.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#11 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng &lt;br&gt;đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 28-04-2008 - 22:21

Anh Khuê chạy mau quá :D cứ từ từ ở lại đây chơi với anh em đã. Em dạo ni thi học kỳ còn bỏ chút time cho bdt đc nữa là :D Nhưng mà thôi tuần này em phải ôn thi học kỳ đến hết tối thứ 7 mới quay lại được, lúc đó em sẽ thử nghiêm túc giải bài 2 xem sau :D
Về cái phản bác của anh cho bài tổng quát của anh Tân đó là chỉ ra rằng việc hàm$ f(a,b,c)$ đạt giá trị tại biên là không thể. Còn vì sao thì em cũng chả nhớ :D Trong lời giải đó mắc 2 sai lầm là đoạn xét dấu $f'''(x)$ và đoạn khảo sát hàm 1 biến sau khi đã chứng minh được đẳng thức về 0. Nói chung thì cái solution đó chắc anh Tân vẫn còn nên anh nhớ post lên đây nhá :D (em có chụp cái lời giải đó trong file ảnh, nhưng ko biết giờ vứt đâu rồi nữa ). Hồi đầu em tưởng cái đề bài (ko có lời giải :Leftrightarrow) trong sách thày Thuận đã kết thúc cho 1 bài toán tổng quát rất khó từ bài của Jack nhưng ko ngờ sau này biết nó sai thì mới thấy rằng bản chất của nó ko hề đơn giản. Thực ra với một số trường hợp cụ thể và đã dự đoán được dấu bằng thì vẫn còn thằng cu Holder hệ số. (nhưng việc chứng minh xem ra chỉ công nhận tính đúng đắn còn một số bài trâu quá chả check nổi bằng tay :in). Nếu ko ngại xem holder hệ số thì ... thử dùng xem sao :in

#12 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng &lt;br&gt;đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 28-04-2008 - 22:31

À mà đúng là $q=2$ mạnh hơn bài của anh Hùng (em lại mất thời gian cho 1 bài dễ hơn và xem ra hướng đi cũng ko sáng sủa dù khá tự nhiên ) :D Anh chứng minh được nó đúng cho $q\ge 1.19$ vậy anh có tìm được số $k$ cụ thể ko hay chỉ là kết quả xấp xỉ ? Phương pháp anh đã dùng là gì? Cũng là phản chứng và hàm số? Topic này hi vọng sẽ nhận được nhiều ý kiến hơn. Trong lúc đọc bài này thì thấy anh dduclam cũng đọc, anh vào cho chút ý kiến đi nhỉ :D

#13 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 29-04-2008 - 00:24

Lên mạng mở nick rồi đi làm mấy việc lặt vặt. Định out nhưng thấy bị nhắc đến mình nên phải vào :D
Mình chưa thử đặt bút giấy với mấy bài của Khuê nên cũng chưa dám có ý kiến gì :D Chỉ riêng với bài toán 3,bài này nằm trong bài viết của Tân ở BDT SL&KP. Hóa ra là chưa đc giải quyết sao?

PS: Sắp thi HP rồi nên ko dám chơi với BDT nữa!

@Khuê: "Bài viết của mình" là bài viết nào mà đụng đến mấy quả "bom từ trường" này vậy? :D
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#14 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng &lt;br&gt;đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 29-04-2008 - 02:26

Buổi tối thức khuya chép tài liệu Địa :D vào topic này đọc chơi thì thấy cả anh Việt Anh xuất hiện :D hi vọng có đc ý kiến từ đại cao thủ :D
Mà nếu đã tổng quát rồi thì tại sao ta không thử với những điều "không tưởng" nhỉ :D
Bài toán 4: Cho $a,b,c\ge 0 $. $m,n,k$ là các hệ số. Tìm hằng số V tốt nhất sau cho:
$\dfrac{a}{(ma+nb)^k}+\dfrac{b}{(mb+nc)^k}+\dfrac{c}{(mc+na)^k}\le V(a+b+c)^{k-1}$

Và tất nhiên cả bài n biến xem như là một điều không tưởng :D

#15 Bùi Việt Anh

Bùi Việt Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-04-2008 - 13:44

Zaizai kháy đểu anh đấy à? Anh giờ ko còn hứng thú với BĐT nữa, với lại những bài phải sử dụng maple thế này thì anh ngán lắm. Tuy nhiên xin đưa ra 1 hướng giải quyết các bài toán hoán vị để lớp trẻ tiếp tục nghiên cứu, phát triển như sau :

Cách làm chung : BĐT hoán vị của chúng ta thường có kết cấu gồm 1 vế đối xứng, 1 vế bất đối xứng. Ta sẽ chia cả 2 vế cho vế đối xứng để 1 vế trở thành hằng số. Tiếp đó đặt từng biểu thức của vế bất đối xứng bắng $A, B, C$, ...

Định lý tổng quát trong GLA sẽ giúp chúng ta loại bỏ các căn thức khó chịu :
Cho $a, b, c$ không âm thỏa mãn : $abc = const, ab+ac+bc = const$ thì $a^t + b^t + c^t$ đạt cực trị khi trong 3 biến $a,b,c$ có 1 biến = 0 hoặc 2 biến bằng nhau.
Cụ thể :
$\bullet$: Khi $t > -1$ thì đạt min khi có 1 biến = 0 hoặc 2 biến = nhau và :geq biến còn lại, đạt max khi 2 biến = nhau và :leq biến còn lại.
$\bullet$: Khi $t < -1$ thì đạt max khi có 1 biến = 0 hoặc 2 biến = nhau và :leq biến còn lại, đạt max khi 2 biến = nhau và :geq biến còn lại



Áp dụng thử vào bài số 2 :

Đặt $A= \dfrac{a^2}{(a+qb)(a+b+c)} $, $B = \dfrac{b^2}{(b+qc)(a+b+c)} $, $C= \dfrac{c^2}{(c+qa)(a+b+c)} $.
Ta cần tìm k nhỏ nhất sao cho :
$A^{ \dfrac{1}{2} }+ B^{ \dfrac{1}{2} } +C^{ \dfrac{1}{2} } \leq k$

Nếu ta chứng minh rằng tồn tại vô số $a, b, c$ sao cho $ABC = const, AB + BC + CA = const$ thì từ định lý GLA sẽ suy ra k cần tìm ứng với $A = B$ hoặc $C = 0$. Lưu ý ở đây là khi giải điều kiện $A = B$ sẽ dẫn đến 1 mối quan hệ giữa $a, b, c$ chứ chưa chắc $a = b$ nên cách giải trên vẫn giải được những bài 3 biến lệch nhau. Từ 1 trong 2 phương trình này ta đưa được BĐT ban đầu về 1 biến và sẽ tìm được $k$ dựa vào maple.

Tuy nhiên khó khăn ở đây chính là việc chỉ ra tồn tại vô số $a, b, c$ sao cho $ABC = const, AB + BC + CA = const$. Tức là :
$\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+qb)(b+qc)(c+qa)(a+b+c)^3} = const, \dfrac{ \sum a^2b^2(c+qa)}{(a+qb)(b+qc)(c+qa)(a+b+c)^2} = const.$

Ta không cần giải hệ phương trình trên mà chỉ cần chứng minh rằng khi có b và c thì sẽ tìm được a để 2 biểu thức trên cố định. Trên lý thuyết thì 3 ẩn, 2 phương trình sẽ có vô số nghiệm nhưng còn phải chứng minh rằng đó là nghiệm thực dương nữa( tức là thuộc TXĐ ban đầu ). Với những bài toán có hình thức đơn giản thì ko mấy khó khăn để chỉ ra nhưng với những bài phức tạp thì khó có thể chỉ ra được.

Cách làm trên có 1 điểm hay là thoát ra được cái quan niệm hạn hẹp xưa nay là chỉ cố định $abc, ab + bc + ca$, hoặc $a + b + c$ mà ko để ý đến việc cố định $ABC, AB + BC + CA, A + B + C$ ( trong đó A, B, C là các biểu thức của $a, b, c$ ). Có 1 thực tế rằng cách làm trên rất hiệu quả với các bài toán đối xứng, gần như tất cả các bài đối xứng ta đều có thể đưa được về 1 biến ( điều này đã được trình bày trong phương pháp GLA sắp ra mắt ).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bùi Việt Anh: 30-04-2008 - 21:31


#16 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-04-2008 - 18:52

Kết quả cho bài toán 2 với $q=2$:
$\dfrac{a}{\sqrt{a+2b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+2c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+2a}} \le \dfrac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{2\sqrt{3}}}+\sqrt{-1+\dfrac{2}{\sqrt{3}}}$
với $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=1$.

Không biết anh VA đã thử chứng minh BDT Jack Garfunkel bằng GLA chưa nhỉ ? Nếu mà chứng minh được thì xem ra đã có một hướng rất sáng sủa cho bài toán 3.
(Lưu ý là với bài toán 3, nếu giả sử $a+b+c=1$ thì ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của Vế trái. Nhưng giá trị lớn nhất thì... :geq)


P/s:

với lại những bài phải sử dụng maple thế này thì anh ngán lắm

Bài nào phải sử dụng maple thế anh VA ơi!

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#17 Bùi Việt Anh

Bùi Việt Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-04-2008 - 19:39

Anh giải tiếp bài 2 nhé! Ta cần chỉ ra rằng tồn tại vô số a, b, c ko âm để :
$\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+qb)(b+qc)(c+qa)(a+b+c)^3} = X = const, \dfrac{ \sum a^2b^2(c+qa)}{(a+qb)(b+qc)(c+qa)(a+b+c)^2} = Y = const.$ ( $27X^2 \leq Y^3$ )

Cho phéng thằng c = 1 đi thì ta có phương trình :
$f(a) = (a+b+1)[a^2b^2(qa+1)+(a+qb)b^2+a^2(b+q)] - \dfrac{Y}{X} a^2b^2 = 0$

Chỉ cần chứng minh ứng với mỗi b > 0 có nghiệm a > 0 là việc chứng minh tồn tại của ta đã được giải quyết. Rất thuận lợi là ta đã có f (0) > 0 và chắc ko mấy khó khăn sẽ chỉ ra được a = x > 0( x phụ thuộc vào X, Y, b ) để f(x) < 0 vì bậc chỉ là 4. Phần còn lại là chứng minh cho 1 biến.

@Nesbit : những bài ko tính được bằng tay là anh đã ko muốn làm rồi. :geq

Cách làm của bài 1 và 3 cũng tương tự. Tuy nhiên, những gì tôi nói chỉ là trên mặt lý thuyết. Thực tế ra sao thì chẳng dám tiến hành :geq

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bùi Việt Anh: 30-04-2008 - 21:21


#18 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng &lt;br&gt;đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 01-05-2008 - 06:07

Kết quả cho bài $q=2$ thì thực ra em cũng đã tìm từ trước rồi nhưng do ngại với số lẻ nên ko post thôi. Chỉ cần cho $c=0 $ và rút $b=1-a$. Thì rõ ràng cực đại của hàm sẽ là:

$f(a)=\dfrac{a}{\sqrt{2-a}}+\sqrt{1-a}\le f\left(2-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

Như vậy cực đại của hàm này đạt được tại bộ số:

$\left(2-\dfrac{2\sqrt{3}}{3},\dfrac{2\sqrt{3}}{3}-1,0\right)$


Dấu bằng nhìn cũng khá là khủng hoảng, ko đẹp như bdt Jack nhưng em lại khoái những bài mà dấu bằng nó quái quái như thế này :geq. Hướng đi ở trên với công cụ dồn biến và đổi biến của em như đã post trên chắc cũng xơi gọn bài này thôi. Với trường hợp cụ thể thì thực ra cũng ko quá khó. Sắp thi rồi nên em cũng chưa suy nghĩ đc thêm gì. Cuối tuần em sẽ thử xem sao.
Về những ý tưởng của anh Việt Anh thì em cũng bắt đầu nắm một chút gì đó về GLA của anh rồi. Giờ thì em hiểu tại sao anh lại nói nó đại loại như là $(n-1)EVP$ của Vasc và thậm chí còn chặt hơn. Mà anh Việt Anh cũng lười quá, anh thử giải cụ thể một bài xem sao :leq Ý tưởng đến lời giải tưởng như ngắn nhưng đôi khi cũng dài đấy anh ạ, mong sớm đc thấy lời giải hoàn chỉnh từ bậc tiền bối :geq

#19 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-05-2008 - 13:37

Kết quả cho bài $q=2$ thì thực ra em cũng đã tìm từ trước rồi nhưng do ngại với số lẻ nên ko post thôi.

Hết nói ! :geq Đã nhiều năm trôi qua rồi mà phong cách của zaizai chẳng khá lên được chút nào :geq

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 02-05-2008 - 13:56

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#20 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-05-2008 - 13:55

Anh giải tiếp bài 2 nhé! Ta cần chỉ ra rằng tồn tại vô số a, b, c ko âm để :
$\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+qb)(b+qc)(c+qa)(a+b+c)^3} = X = const, \dfrac{ \sum a^2b^2(c+qa)}{(a+qb)(b+qc)(c+qa)(a+b+c)^2} = Y = const.$ ( $27X^2 \leq Y^3$ )

Cho phéng thằng c = 1 đi thì ta có phương trình :
$f(a) = (a+b+1)[a^2b^2(qa+1)+(a+qb)b^2+a^2(b+q)] - \dfrac{Y}{X} a^2b^2 = 0$

Chỉ cần chứng minh ứng với mỗi b > 0 có nghiệm a > 0 là việc chứng minh tồn tại của ta đã được giải quyết. Rất thuận lợi là ta đã có f (0) > 0 và chắc ko mấy khó khăn sẽ chỉ ra được a = x > 0( x phụ thuộc vào X, Y, b ) để f(x) < 0 vì bậc chỉ là 4. Phần còn lại là chứng minh cho 1 biến.

@Nesbit : những bài ko tính được bằng tay là anh đã ko muốn làm rồi. :leq

Cách làm của bài 1 và 3 cũng tương tự. Tuy nhiên, những gì tôi nói chỉ là trên mặt lý thuyết. Thực tế ra sao thì chẳng dám tiến hành :leq

Xem ra cũng... bở hơi tai :equiv
Ý tưởng đổi biến A, B, C rất hay. Nhưng những gì mà anh VA trình bày ở trên em thấy có gì đó vẫn chưa ổn. Em chưa suy nghĩ nhiều lắm về vấn đề này, hai tháng nữa sẽ xem xét kĩ và hi vọng là phương pháp này là... đúng!
Giả sử những lập luận trên là đúng thì quy về việc chứng minh BDT thi $c=0$ hoặc $c=\dfrac{ab^2+qb^3-a^2b}{qa^2}$. Kết quả không phải là quá xấu (mặc dù quy về 1 BDT 1 biến rất chi là... khủng hoảng)
Em cũng có cách đưa về một biến nhưng mà... xấu tệ :equiv
Anh VA đã bỏ công sức ra như thế rồi thì diệt gọn nó luôn giúp em với nhỉ :geq Nếu được thì cũng là một ví dụ hay cho pp của anh mà, hì.


P/s: Trang chủ bị hack rồi, hi vọng nó không hack luôn diễn đàn, đang lúc hay thế này mà.... :D
Không thấy tanpham lên tiếng nữa nhỉ :geq

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh