Với bổ đề mạnh nhất của $ \dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{c}+ \dfrac{c}{a} $ Cẩn tìm ra thì em có thể giải được nhiều bài toán rất khó. Nhưng pqr của em vẫn còn e ngại với những bài chứa căn thức phức tạp. Anh xin cung cấp cho em thêm 1 số bổ đề có thể hữu ích cho pqr.
Bổ đề 1 :
Cho a, b, c ko âm thì :
$ \sqrt[n]{ \dfrac{a}{b+c} } + \sqrt[n]{ \dfrac{b}{a+c} }+ \sqrt[n]{ \dfrac{c}{a+b} }$
Với n > -1 : đạt min khi 2 biến lớn hơn = nhau hoặc 1 biến = 0, max khi 2 biến nhỏ hơn = nhau hoặc 1 biến = 0
Với n < -1 : đạt min khi 2 biến nhỏ hơn = nhau hoặc 1 biến = 0, max khi 2 biến lớn hơn = nhau hoặc 1 biến = 0
Chứng minh :
Đặt a+b = x, a+c = y ,b+c =z thì x, y, z là độ dài 3 cạnh 1 tam giác. Gọi p, R, r là các yếu tố trong tam giác này. Biểu diễn abc, ab+ac+bc, a+b+c theo p,R,r ta được :
$abc = pr^2$, $ab+ac+bc = 4Rr + r^2$,$ a+b+c =p$
$\dfrac{a}{b+c} = A, \dfrac{b}{a+c} = B, \dfrac{c}{a+b} = C$. Thì :
$ABC = \dfrac{r}{4R} $
$AB+AC+BC = 1 - \dfrac{r}{2R} $
Nếu như cố định r, R thì ABC, AB+AC+BC=const.
Kết hợp với định lý đã được chứng minh trong GLA:
Nếu a,b,c ko âm thỏa mãn : abc, ab+ac+bc = const thì:
$a^n+b^n+c^n $ đạt cực trị như sau:
Với n > -1 : đạt min khi 2 biến lớn hơn = nhau hoặc 1 biến = 0, max khi 2 biến nhỏ hơn = nhau hoặc 1 biến = 0
Với n < -1 : đạt min khi 2 biến nhỏ hơn = nhau hoặc 1 biến = 0, max khi 2 biến lớn hơn = nhau hoặc 1 biến = 0
Ta có điều cần chứng minh.
Chứng minh của định lý này đã được kiểm tra tính đúng đắn nhiều lần. Cái mà anh dùng để tìm k tốt nhất cho bài 1 của em là ý tưởng đang nghiên cứu nên chưa được chính xác.
Với cách làm tương tự ta có thể xây dựng nhiều bổ đề dạng như trên. Khi nào rảnh mình sẽ post tiếp.
Nhận xét : Trong nhiều bài, cố định 2 trong 3 đại lượng abc, ab+ac+bc, a+b+c sẽ thuận lợi hơn p,R,r nhưng trong bài trên thì sẽ ko có được ABC, AB+AC+BC=const để áp dụng định lý như p,R,r. Tùy từng bài mà ta sẽ chọn cách cố định nào cho hợp lý.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bùi Việt Anh: 13-05-2008 - 17:58
