Chủ đề này có 4 trả lời

[Primes]

Tìm tất cả các hàm $f:N\to N$ sao cho
$f(m)+f(n)|m^k+n^k$ trong đó k là hằng số tự nhiên và N là tập tất cả các số nguyên dương .

[duca1pbc]

Tìm tất cả các hàm $f:N\to N$ sao cho
$f(m)+f(n)|m^k+n^k$ trong đó k là hằng số tự nhiên và N là tập tất cả các số nguyên dương .

ta c/m $f(n)=n^k$ bằng quy nạp
$2f(1)|2 \Rightarrow f(1)=1$
giả sử đúng tới n,tức là $f(n)=n^k$
ta c/m $f(n+1)=(n+1)^k$
thay $m $bởi $n-1$,$n$ bởi $n+1$ ta có:
$f(n+1)+(n-1)^k|(n+1)^k+(n-1)^k$
Do $(n-1)^k< (n+1)^k+(n-1)^k <3(n-1)^k$
Nên$ (n+1)^k+(n-1)^k=f(n+1)+(n-1)^k$
hoặc$ (n+1)^k+(n-1)^k=2(f(n+1)+(n-1)^k)$
Dễ thấy trường hợp 2 ko đúng.Từ đó ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duca1pbc: 29-04-2008 - 22:44

[Primes]

Có hai lỗi sai ở bài toán này :
1)Ý quy nạp . Từ n thay bởi n-1 thì phải có đk là $n>1$ trong khi mới cm cho n=1
2)Sai đáp số . Thử k=3 thì có hai hàm như thế
Một cách tổng quát thì nghiệm là
$f(n)=n^p$ trong đó $\dfrac{k}{p}$ là số nguyên lẻ.

[Primes]

Có ai có ý kiến khác cho bài này không ?

Đây sẽ là bài post cuối của tôi trong năm nay .
Hi vọng ai đó có lời giải cho bài toán này

[ctlhp]

đừng đi vội, bài này trông bắt mắt quá, cm $ f(p^{k})=p^{q}$ thì dễ mà chuyển qua $ n$ thì đúng là ko đơn giản