Chủ đề này có 6 trả lời

[supermember]

Bài toán


Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn :



$P(0) = 0$


Và $P( x^{3} +1 ) = P^{3}(x) + 1$ với mọi $x$ thuộc $R$



Bài khá đẹp

Tặng mọi người

[ctlhp]

xét dãy số sau $ x_{0}=0,x_{n+1}=x_{n}^3+1$ ta thấy là $ P(x_{n})=x_{n}$ với mọi n và dãy này ra tăng ngặt ra dương vô cùng / đa thức $ P(x)-x$ có vô số nghiệm vậy $ P(x)=x$/ g/t $ P(0)=0$ làm bt dễ đi nhiều. ai giải thử $ P(Q)=Q(P), Q=x^3+1$ xem sao.

[dtdong91]

Nếu ko có P(0)=0 thì ta có thể cân bằng hệ số
$ P(x^3+1)-1=P^3(x)$
Giả sử tồn tại số mũ của x cao nhất khác n có hệ số khác 0 trong khai triển P(x) là $ k$
=> số mũ cao thứ nhì 2 bên là $ 3(n-1)=k+2n$ => $ k=n-3$
Tiếp tục lập luận sẽ tồn tại các số mũ là n-6,n-9,...
Sau đó xác định hệ số của chúng = việc cân bằng hệ số 2 bên
Hình như là vẫn tồn tại những hàm thỏa mãn

[ctlhp]

uh hàm là Q(...Q(x)..) chẳng hạn

[ctlhp]

hình như có 1 định lý chỉ ra dạng của tất cả các cặp đa thức $ PoQ=QoP $ thì phải. Ritt hay cái j` đại loại vậy.chỉ ra 3 nhóm <-> . có ai biết cụ thể hơn ko?

[namdung]

Đó gọi là định lý Ritt-Julia, phân loại tất cả các cặp đa thức giao hoán đối với phép hợp. Đúng là có 3 lớp như vậy
1) P, Q đồng dạng qua cùng 1 ánh xạ tuyến tính d với các đa thức Chebysev
2) P, Q đồng dạng qua cùng 1 ánh xạ tuyến tính d với các đơn thức
P và F đồng dạng qua ánh xạ tuyến tính d: y = ax + b nghĩa là P = $d^-1F(d(x))$
3) Cái này hơi phức tạp, các bạn tìm hiểu thêm trong file đính kèm

File gửi kèm

•  13_5v.pdf   149.97K   14 Số lần tải

[ctlhp]

đúng là định lý Ritt này .hồi đó em có nghiện cứu 1 tí về những cặp trên những $ Q $ cho trước nên có biết qua.

quay lại bt ban đầu,ta giải bt tổng quát hơn

Cho $ Q=x^3+1$ tìm mọi $P\in R[x]$ sao cho $ P(Q)=Q(P)$

Nhận xét 1: đa thức thỏa bậc phải ko nhỏ hơn 1 và hệ số deg max $=1$ hay $-1$

Nhận xét 2: Gọi Với mỗi số tự nhiên $ n\geq 1$ tồn tại tối đa 1 đa thức thỏa mãn bt
cm: Gọi $P,Q$ là 2 đa thức p/b thỏa yêu cầu. theo NX 1 thì $ Q= +P+T$ hoặc $ Q=P-T$ với $T$ là đa thức deg $d<n$ . Thay vào so sánh deg 2 vế-> $T$ đồng nhất $0$

Nhận xét 3: Là nhận xét của dtdong91

Nhận xét 4: Nếu $P(0)=0$ thì $P(x)=x$. (đã cm)

Nhận xét 5: Cho $P(x) ,Q(x)$ đa thức khác hằng sao cho $P.Q(x)=(x^3+1)^{2}.Q(x^3+1)$ thì $0$ ko phải là nghiệm của $Q$.
Thật vậy g/s $ 0 $là nghiệm của $Q$ thì 1 cũng thế một cách chính xác hơn dãy $ x_{0}=0. x_{n+1}=x_{n}^{3}=1 $cũng là nghiệm mà như trên ta có dãy này tăng ngặt ra dương vô cùng. tức đa thức $Q$ có vô hạn nghiệm (impossble) vậy $ Q(0)$ khác 0.

Nhận xét 6: Nếu $P(0)$ khác ko thì $P(x)=Q(...Q(x)...)$
cm: Đạo hàm đẳng thứa đã cho được $x^2.P'(x^3+1)=P^2(x).P'(x). P(0)$ khác 0 vậy $P'(x)=x^{2}.G(x) $thay vào. bây giờ ta có $P^2(x).x^{k-2}.G(x)=(x^3+1)^{k}.G(x^3+1)$.theo NX5 thì G(0) khác ko nói cách khác với $G=a_{0}+a_{1}x+..+a_{n-3}.x^{n-3}$. với $a_{0}$ khác 0. Dễ thấy $P=\dfrac{a_{0}.x^3}{3}+...+\dfrac{a_{n-3}.x^{n}}{n}$. đến đây kết hợp nhận xét 1 và 3 ta có đpcm.


kl : nghiệm cũa bài toán là $ P(x)=0\forall x, P(x)=Q(...Q(x)...)$ (n nháy)


hi vọng là đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ctlhp: 02-05-2008 - 18:52