Chủ đề này có 42 trả lời

[Alexi Laiho]

Tớ cũng có 1 bài góp vui

Cho trước 6 điểm A,B,C, A', B', C' bất kỳ nằm trên 1 đường conic. Gọi P,Q,R lần lượt là các giao điểm $ P = AB' \cap A'B, \quad Q = AC' \cap A'C, \quad R = BC' \cap B'C$. Chứng minh rằng P,Q,R nằm trên 1 đường thẳng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexi Laiho: 23-05-2008 - 04:43

[ctlhp]

Tớ cũng có 1 bài góp vui

Cho trước 6 điểm A,B,C, A', B', C' bất kỳ nằm trên 1 đường conic. Gọi P,Q,R lần lượt là các giao điểm $ P = AB' \cap A'B, \quad Q = AC' \cap A'C, \quad R = BC' \cap B'C$. Chứng minh rằng P,Q,R nằm trên 1 đường thẳng.

đây là định lý 6 điểm Pascal. ông tìm ra năm 16 t.

[Alexi Laiho]

Có cách nào chứng minh Pascal theorem ngoài cách đã được posted trên Wikipedia không? Proof in Wiki

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexi Laiho: 23-05-2008 - 05:11

[namdung]

Có cách nào chứng minh Pascal theorem ngoài cách đã được posted trên Wikipedia không? Proof in Wiki

Còn có cách dùng Quaternions của Sir Hamilton nữa!

[Alexi Laiho]

Còn có cách dùng Quaternions của Sir Hamilton nữa!

I dont know this way. Can you post this proof?

[namdung]

I dont know this way. Can you post this proof?

Please, see the attached for details.

File gửi kèm

•  Pascal.pdf   132.96K   152 Số lần tải

[Primes]

Tớ cũng có 1 bài góp vui

Cho trước 6 điểm A,B,C, A', B', C' bất kỳ nằm trên 1 đường conic. Gọi P,Q,R lần lượt là các giao điểm $ P = AB' \cap A'B, \quad Q = AC' \cap A'C, \quad R = BC' \cap B'C$. Chứng minh rằng P,Q,R nằm trên 1 đường thẳng.

Em biết một cách là dùng tỉ số kép . Phép cm này đúng cho cả trường hợp Parabol và Elip và đương nhiên đúng cho cả đường tròn .

[hieunguyentr92]

Nếu vậy thì mấy seminar của thầy Tuần và mấy người khác nữa thì tính sao thầy ? chẵng lẽ dời lại qua năm sau hả thầy ? Em thích nghe chuyên đề về phương trìnn hàm lắm !

[Alexi Laiho]

Nice to see different ways to prove this Pascal theorem . Tớ cũng chỉ biết có 1 cách, dùng hình học đại số. Mỗi Conic tương ứng 1 đa thức thuần nhất bậc hai, có ba biến $F_2(X,Y,Z)$, trong $\mathbb{P}^2$ (over some field k). 1 kết quả well-known trong đại số tuyến tính là các ma trận $PGL_3$ bảo toàn đường thẳng (i.e. $\mathbb{P}^1$) và conics (i.e. $Proj(k[X,Y,Z)/(F_2(X,Y,Z))$) sẽ dẫn tới ta có thể chọn conic sao cho pt của nó cho bởi $XY+YZ+ZX = 0$. Bây giờ hoàn toàn sử dụng elementar calculation từ matrix để tính, và lưu ý cách tính làm thế nào để 3 points trong mặt phẳng xạ ảnh $\mathbb{P}^2$ nằm trên 1 line.

Cách này có ưu điểm là chứng minh cho mọi trường, nhưng nó phải vận dụng tới kiến thức Đại Số tuyến tính, e rằng chưa áp dụng được phổ thông. Và còn 1 điểm nữa, tớ nghĩ chắc sẽ phải xét rất cẩn thận nếu conic có chứa thêm kỳ dị. Có thể xem details tại file dưới này.

File gửi kèm

•  Pascal_Theorem.pdf   113.4K   126 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexi Laiho: 27-05-2008 - 04:25

[namdung]

Nếu vậy thì mấy seminar của thầy Tuần và mấy người khác nữa thì tính sao thầy ? chẵng lẽ dời lại qua năm sau hả thầy ? Em thích nghe chuyên đề về phương trìnn hàm lắm !

Chủ nhật tới sẽ bàn xem kế hoạch sắp tới thế nào. Chắc chắn là trong hè vẫn sẽ có hoạt động chứ.

[namdung]

Dear các bạn

Tôi cần đến sự trợ giúp của các bạn!

Do thầy Lưu Minh Đức bị sự cố máy tính và đang bận để hoàn tất luận văn, tôi phải chấp bút viết tiếp chuyên đề về Phương pháp tọa độ.

Tôi đã viết được khoảng gần 1 nửa. Bây giờ tôi cần đến sự trợ giúp của các bạn.

Các bạn có thể download phần thô của bài viết và đóng góp bằng cách:
1) Bổ sung các ví dụ, các vấn đề đã đề ra trong bài nhưng chưa triển khai
2) Giải các bài tập đề xuất trong bài
3) Đề nghị thêm các bài khác
4) Viết thêm về các ứng dụng khác (Chẳng hạn chứng minh BĐT)
5) Phần hình học KG cũng rất cần thêm các ví dụ

Nếu bạn nào (Alexi Laiho chẳng hạn) Viết được cho phần chứng minh định lý HH bằng máy tính thì hay quá.

Để tiện cho tôi tổng hợp vào bài chung, các bạn đánh vào MS Word (Font Times New Roman) và gửi file cho tôi theo địa chỉ: [email protected]. Tiêu đề: VMF - Coordinate Method).

Rất cảm ơn sự trợ giúp của các bạn.

File gửi kèm

•  Coordinate_Method_V0.4.doc   213.5K   112 Số lần tải

[namdung]

Tôi đã nhận được sự trợ giúp đầu tiên. Bạn Hiền từ trường chuyên Quang Trung đã gửi lời giải bài VMO 2007 và 2 ví dụ của Hình giải tích KG. Xin cảm ơn bạn Hiền. Tôi sẽ bổ sung vào tài liệu ngay.

[vo thanh van]

Em không hiểu vì sao cái pp dùng hệ tọa độ xiên lại không được thầy nhắc tới,nó cũng là một phần quan trọng của pp toạ độ này.Đối với những bài toán mà không thể dựng nên những hệ toạ độ vuông góc thì hệ toạ độ xiên lại là có ích.
Bây giờ em xin được bổ sung thêm 3 bài toán sử dụng pp toạ độ,lời giải em sẽ post sau
AMPO 1998:Let ABC be a triangle and D the foot of the altitude from A. Let E and F be on a line through D such that AE is perpendicular to BE, AF is perpendicular to CF, and E and F are different from D. Let M and N be the midpoints of the line segments BC and EF, respectively. Prove that AN is perpendicular to NM
APMO 2000:Let ABC be a triangle. Let M and N be the points in which the median and the angle bisector, respectively, at A meet the side BC. Let Q and P be the points in which the perpendicular at N to NA meets MA and BA, respectively. And O the point in which the perpendicular at P to BA meets AN produced.
Prove that QO is perpendicular to BC.
India 2002: ABCDEF is a convex hexagon. Consider the following statements.
(1) AB is parallel to DE.
(2) BC is parallel to EF.
(3) CD is parallel to FA.
(4) AE=BD.
(5) BF=CE.
(6) CA=DF.
Show that if all six of these statements are true then the hexagon is cyclic. Prove that, in fact, five of the six statements suffice.

[namdung]

Cảm ơn Vân đã góp ý và đóng góp.

Tôi cũng đã nhận được đóng góp của bạn Nguyễn Trung Hiếu, học sinh trường PTNK. Tôi đã bổ sung thêm 1 phần vào bài viết.

Ngày hôm qua seminar đã diễn ra với sự tham dự của hơn 20 thầy cô giáo và các bạn học sinh. Diễn biến seminar sẽ được tường thuật trong chủ đề riêng về seminar tổng kết.

Tôi gửi lên đây phiên bản 0.6, trong đó thêm các mục bổ sung, cũng như còn thiếu cần người viết tiếp. Bạn nào đăng ký thì tham gia cùng tôi xây dựng nhé. Các mục cần viết tiếp là:

1. Hệ tọa độ xiên và ứng dụng

2. Phương pháp tọa độ và bất đẳng thức, bất phương trình, phương trình

3. Phương pháp tọa độ và bài toán hình học KG

4. Các đường cong bậc 2

5. Chứng minh định lý hình học bằng máy tính

6. Bình luận về điểm mạnh, điểm yếu của phương pháp tọa độ

Rất cảm ơn sự tham gia của các bạn.

File gửi kèm

•  Coordinate_Method_V0.6.doc   469K   127 Số lần tải

[vo thanh van]

Cảm ơn Vân đã góp ý và đóng góp.

hj`,Văn chứ không phải Vân đâu thầy ơi

6. Bình luận về điểm mạnh, điểm yếu của phương pháp tọa độ

Hôm nay rảnh,em tranh thủ bàn đôi chút về vấn đề này
Về điểm mạnh: Phương pháp toạ độ là phương pháp không cần mất nhiều thời gian để suy nghĩ.Đối với các bài toán Hình học thông thường ( ở đây mình xin nhắc đến mấy bài Hình trong các kì thi) thì việc tìm ra một lời giải thuần tuý Hình học là một việc khó khăn,mất nhiều thời gian và việc tìm một lời giải đẹp cũng không phải là dễ.Tuy nhiên,Lời giải bằng phương pháp toạ độ lại có thể khắc phục những khuyết điểm đó,nó mang tính chất tự nhiên,giúp người đọc dễ cảm nhận,tiếp thu phương pháp và áp dụng một cách dễ dàng,thuần thục.Nhưng bên cạnh những ưu điểm trên thì nó cũng mang những khuyết điểm còn tồn tại như sau:
Điểm yếu:Điểm yếu lớn nhất của phương pháp này là dài dòng,và tính toán hơi nhiều,dễ bị nhầm lẫn.Đối với các đối tượng khác trong Hình học thì việc biểu diễn qua toạ độ hơi dài dòng,đôi khi còn gặp nhiều khó khăn.
Trên đây là vài ý kiến của em,mong thầy và các bạn góp ý thêm.

[vo thanh van]

1. Hệ tọa độ xiên và ứng dụng

Còn về hệ toạ độ xiên thì em nghĩ thầy chỉ cần nêu ra lí thuyết ngắn gọn thôi,vì nó cũng gần gần giống như hệ toạ độ Decac.Đôi chút về pp này
Khái niệm: Cho điểm $O$ và 2 vector $\vec{e_1} ,\vec{e_2}$ không cùng phương,khj đó bộ $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$ được gọi là hệ toạ độ Anfin (hệ toạ độ xiên)
Khi đó $(O,\vec{e_1})$ được gọi là trục hoành $(Ox)$
$(O,\vec{e_2})$ được gọi là trục tung $(Oy)$
. Toạ độ của vector điểm trong hệ toạ độ xiên:
Xét $\vec{e}$ là một vector tuỳ ý,khi đó tồn tại duy nhất bộ số $x,y$ sao cho $\vec{e}=x\vec{e_1}+y\vec{e_1}$
$(x,y)$ được gọi là toạ độ của $\vec{e}$ trong $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$
+Về các tính chất thì nó tương tự như tính chất của các vector nên em cũng không nêu rõ phần này và phần đường thẳng trong hệ toạ độ xiên cũng thế.
Ví dụ Cho hbh ABCD,các điểm M,N thuộc cạnh AB,CD.I,J,K lần lượt là trung điểm AM,AN,MN.
CMR:BI,DJ,CK đồng quy.
Lời giải:
Xét toạ độ $(C,\vec{CB},\vec{CD})$.Ta có $C(0;0);B(1;0);D(0;1);A(1;1)$
Giả sử: $M(a;0);N(0;b)$. $\Rightarrow I( \dfrac{x-1}{a-1})=y.$
Tương tự:
$(DJ): x=\dfrac{y-1}{b-1}$
$(CK): \dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}$
Gọi $E=(x_{0},y_{0})$ là giao điểm của BI,DJ.
Khi đó:
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x_{0}-1}{a-1}=y_{0}\\x_{0}=\dfrac{y_{0}-1}{b-1}\end{array}\right.$
Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}x_{0}= \dfrac{a}{a+b-ab} \\ \dfrac{b}{a+b-ab} \end{array}$
Dễ dàng kiểm nghiệm $E\in (CK)$.
Bài tập:
1>(China TST 1996) Cho tam giác ABC .Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB,AC tại D va E.Gọi F,G lần lượt là hình chiếu của D,E trên BC.M là giao điểm của EF và DG.Chứng minh rằng AM vuông góc với BC
2>(đường thẳng Gauxơ)Cho tứ giac ABCD có $AB \cap CD = E; AD \cap BC=F$
CMR . Trung điểm các đoạn AC,BD,EF thẳng hàng.
3>Cho hình bình hành ABCD, các điểm X,Y,Z,T thuộc DA,AB,BC,CD sao cho. $\dfrac{AX}{AD} = \dfrac{BY}{BA} = \dfrac{CZ}{CB} = \dfrac{DT}{DC}$ .Gọi $\Delta _{1} , \Delta _{2} , \Delta _{3}$ là các đường thẳng theo thứ tự qua $A,B,C // XT,YT,ZT$.
CMR. $\Delta _{1} , \Delta _{2} , \Delta _{3}$ đồng quy.

Vì thời gian có hạn nên em cũng chỉ đưa ra những khái niệm và các bài tập cơ bản như trên thôi thầy ạ,nếu có thời gian thì em sẽ bổ sung thêm.

[vo thanh van]

Em xin bổ sung thêm bài toán sau
IMO 1995:Let A, B, C and D be four distinct points on a line, in that order. The circles with diameters AC and BD intersect at the points X and Y. The line XY meets BC at the point Z. Let P be a point on the line XY different from Z. The line CP intersects the circle with diameter AC at the points C and M, and the line BP intersects the circle with diameter BD at the points B and N. Prove that the lines AM, DN, and XY are concurrent.

[Alexi Laiho]

to Namdung: Sorry, thời gian vừa qua AL bận nên không thể help. Anyway, i have no idea về hình học máy tính.
--------------
Nói chung trong Geometry thì các mathematicians vẫn muốn có 1 coordinate-free Geometry, cho nên người ta không bao giờ start with a choice of local coordinates cho 1 đa tạp nào đó. Tuy nhiên để tính toán explicite, trên thực tế one must choose such local coordinates. Vậy nên, chí ít là trong algebraic Geometry, dùng coordinates chỉ có 1 ưu điểm duy nhất là giúp ta hiểu các ví dụ tính toán với các đa thức cụ thể.

[namdung]

Còn về hệ toạ độ xiên thì em nghĩ thầy chỉ cần nêu ra lí thuyết ngắn gọn thôi,vì nó cũng gần gần giống như hệ toạ độ Decac.Đôi chút về pp này
Khái niệm: Cho điểm $O$ và 2 vector $\vec{e_1} ,\vec{e_2}$ không cùng phương,khj đó bộ $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$ được gọi là hệ toạ độ Anfin (hệ toạ độ xiên)
Khi đó $(O,\vec{e_1})$ được gọi là trục hoành $(Ox)$
$(O,\vec{e_2})$ được gọi là trục tung $(Oy)$
. Toạ độ của vector điểm trong hệ toạ độ xiên:
Xét $\vec{e}$ là một vector tuỳ ý,khi đó tồn tại duy nhất bộ số $x,y$ sao cho $\vec{e}=x\vec{e_1}+y\vec{e_1}$
$(x,y)$ được gọi là toạ độ của $\vec{e}$ trong $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$
+Về các tính chất thì nó tương tự như tính chất của các vector nên em cũng không nêu rõ phần này và phần đường thẳng trong hệ toạ độ xiên cũng thế.

Hệ tọa độ này là hệ tọa độ afin. Với hệ tọa độ như vậy chỉ giải được các bài toán liên quan đến các hệ thức bậc nhất, tức là liên quan đến song song, thẳng hàng, đồng quy. Với các bài toán có đụng tới khoảng cách thì hệ tọa độ này không áp dụng đuợc, còn nếu muốn dùng phải đưa vào tích vô hướng thích hợp, cụ thể, nếu hai tia dương của trục tọa độ hợp với nhau 1 góc bằng a thì (x,y).(x',y') = x.x' + y.y' + cosa(xy'-x'y).

[hung_toan]

Cảm ơn Vân đã góp ý và đóng góp.

Tôi cũng đã nhận được đóng góp của bạn Nguyễn Trung Hiếu, học sinh trường PTNK. Tôi đã bổ sung thêm 1 phần vào bài viết.

Ngày hôm qua seminar đã diễn ra với sự tham dự của hơn 20 thầy cô giáo và các bạn học sinh. Diễn biến seminar sẽ được tường thuật trong chủ đề riêng về seminar tổng kết.

Tôi gửi lên đây phiên bản 0.6, trong đó thêm các mục bổ sung, cũng như còn thiếu cần người viết tiếp. Bạn nào đăng ký thì tham gia cùng tôi xây dựng nhé. Các mục cần viết tiếp là:

1. Hệ tọa độ xiên và ứng dụng

2. Phương pháp tọa độ và bất đẳng thức, bất phương trình, phương trình

3. Phương pháp tọa độ và bài toán hình học KG

4. Các đường cong bậc 2

5. Chứng minh định lý hình học bằng máy tính

6. Bình luận về điểm mạnh, điểm yếu của phương pháp tọa độ

Rất cảm ơn sự tham gia của các bạn.

Thưa thầy .sao em down tài liệu này về không đuợc . thầy up lên file khác dùm em với .Em đang rất cần tài liệu này .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung_toan: 26-01-2010 - 19:31