3 replies to this topic

[Songohan]

Cho $a + b + c = k(k \neq 3),a,b,c \ge 0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A = \dfrac{{a + 1}}{{b^2 + 1}} + \dfrac{{b + 1}}{{c^2 + 1}} + \dfrac{{c + 1}}{{a^2 + 1}}$

Các bạn nhớ là $k \neq 3$ nhé.

Edited by 4232, 06-05-2008 - 20:20.

[slbadguy]

$a \ge b \ge c \to \dfrac{1}{{a^2 + 1}} \le \dfrac{1}{{b^2 + 1}} \le \dfrac{1}{{c^2 + 1}}$

$ \Rightarrow \sum\limits_{cyc} { \dfrac{{a + 1}}{{b{}^2 + 1}}} \ge \sum\limits_{} {\dfrac{{a + 1}}{{a^2 + 1}}} = f(a,b,c)$ (bđt xắp xếp lại)

$f(t,t,c) = 2\dfrac{{t + 1}}{{t^2 + 1}} + \dfrac{{c + 1}}{{c^2 + 1}},t = \dfrac{{a + b}}{2}$

ta cm $f(a,b,c) \ge f(t,t,c) \Leftrightarrow \dfrac{{a + 1}}{{a^2 + 1}} + \dfrac{{b + 1}}{{c^2 + 1}} \ge 2\dfrac{{t + 1}}{{t^2 + 1}}$ $$

xét hàm $g(x) = \dfrac{{x + 1}}{{x^2 + 1}}$ nhận thấy nó lồi trên $[0; + \infty ]$

theo Jensen ta có $$ đúng
Vậy theo định lí dồn biến ta có $f(a,b,c) \ge f(\dfrac{k}{3},\dfrac{k}{3},\dfrac{k}{3})$

[slbadguy]

Với $k = 3$

$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{a + 1}}{{b^2 + 1}}} = \sum\limits_{cyc} {(a + 1 - \dfrac{{b^2 (a + 1)}}{{b^2 + 1}})} \ge 6 - \sum\limits_{cyc} {\dfrac{{b^2 (a + 1)}}{{2b}}} \ge 6 - \dfrac{{\sum {ab} }}{2} - \dfrac{3}{2} \ge 6 - \dfrac{9}{{3.2}} - \dfrac{3}{2} = 3$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.

[Songohan]

Hỏng ai quan tâm đến bài này hết. À cái cm tổng quát bị sai rồi.

Edited by 4232, 20-06-2008 - 07:55.