Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) sao cho:
$xy+\dfrac{x^3+y^3}{2}=2007$
Bài 2: Cho a,d là các số thực ko âm và b,c là các số thực dương thỏa mãn: $ b+c \ge a+d $
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+b}$
Bài 3:Tìm tất cả các hàm số f: $R \rightarrow R $thỏa mãn điều kiện:
$f(x^3-y)+2y(3f^2(x)+y^2)=f(y+f(x))$
với mọi $x,y \in R$
Bài 4: Cho dãy số tự nhiên $a_1<a_2<...<a_n<2n$ thỏa mãn ko có hai số nào chia hết cho nhau.Chứng minh rằng $a_1 \ge 2^k$ với$ k \in N$ xác định bởi $3^k \le 2n< 3^{k+1}$
Bài 5: Cho tứ diện $SABC$ có $SA=SB=SC=1$.Mặt phẳng $(P)$ thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt tại $D,E,F.$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$M=\dfrac{1}{SD.SE}+\dfrac{1}{SE.SF}+\dfrac{1}{SF.SD}$
Bài 6: Cho $A,B,C,D$ là 4 điểm phân biệt theo thứ tự nằm trên một đường thẳng.Hai đường tròn lần lượt có đường kính $AC,BD$ cắt nhau tại $X$ và $Y.XY$ cắt$ BC$ tại $Z$.Cho $P$ là một điểm nằm trên $XY$ khác $Z.CP$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $C$ và $M.BP$ cắt đường tròn đường kính $BD$ tại $B$ và $N$.Chứng minh rằng $AM,DN,XY$ đồng quy
Bài 7: Trong 21 đoạn thẳng nối 7 điểm có nhiều nhất bao nhiêu đoạn thẳng bằng nhau?